Question

如圖，一次函數y=-

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2

x+2分別交y軸、x 軸于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t 取何值時，MN有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）首先求出一次函數與坐標軸交點坐標，進而帶入二次函數解析式得出b，c的值即可；
（2）根據作垂直x軸的直線x=t，得出M，N的坐標，進而根據坐標性質得出即可．

解答：解：（1）∵一次函數y=-

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x+2分別交y軸、x 軸于A、B兩點，
∴x=0時，y=2，y=0時，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
將x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2，
將x=4，y=0，c=2代入y=-x²+bx+c，
得到b=

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2

，
∴y=-x²+

7

2

x+2；

（2）∵作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，
∴由題意，易得M（t，-

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t+2），N（t，-t²+

7

2

t+2），
從而得到MN=-t²+

7

2

t+2-（-

1

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t+2）=-t²+4t （0＜t＜4），
當t=-

b

2a

=2時，MN有最大值為：

4ac-b2

4a

=4．

點評：此題主要考查了一次函數與二次函數的綜合應用，根據已知得出M，N的坐標是解題關鍵．