Question

【題目】如圖，在ABCD中，E為對(duì)角線AC延長線上的一點(diǎn)．

(1)若四邊形ABCD是菱形，求證：BE＝DE.

(2)寫出(1)的逆命題，并判斷其是真命題還是假命題，若是真命題，給出證明；若是假命題，舉出反例．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)“菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直平分”的性質(zhì)推知OE是△BDE的邊BD上的中垂線，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可知△DEB為等腰三角形；

（2）（1）的逆命題是“若BE=DE，則四邊形ABCD是菱形”．根據(jù)平行四邊形ABCD的對(duì)角線相互平分知OD=OB，結(jié)合角平分線的性質(zhì)推知OE是BD的中垂線，即平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直．

試題解析：（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，且BO=OD.

又∵E是AC延長線上的一點(diǎn)，

∴EO是△BDE的邊BD的中垂線，∠DEB的角平分線，

∴△DEB是等腰三角形，

∴BE=DE；

（2）（1）的逆命題是“若BE=DE，則四邊形ABCD是菱形”，

它是真命題，理由如下：

∵平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，

∴BO=OD.

又∵BE=DE

∴EO⊥BD，即AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形。