Question

6．（1）方法回顧
在學習三角形中位線時，為了探索三角形中位線的性質(zhì)，思路如下：
第一步添加輔助線：如圖1，在△ABC中，延長DE （D、E分別是AB、AC的中點）到點F，使得EF=DE，連接CF；
第二步證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形，從而得到DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．

（2）問題解決
如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的長．
（3）拓展研究
如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG=3，DF=2$\sqrt{2}$，∠GEF=90°，求GF的長．

Answer 1

分析 （1）延長GE、FD交于點H，可證得△AEG≌△DEH，結合條件可證明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的長；
（2）過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，可證明△AEG≌△DEH，結合條件可得到△HPD為等腰直角三角形，可求得PF的長，在Rt△HFP中，可求得HF，則可求得GF的長．

解答 解：
（1）如圖2，延長GE、FD交于點H，

∵E為AD中點，
∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠HDE}\\{EA=ED}\\{∠AEG=∠HED}\end{array}\right.$
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=2，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；
（2）如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3，
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴△PDH為等腰直角三角形，
∴PD=PH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴PF=PD+DF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2$\sqrt{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，PF=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴HF=$\sqrt{H{P}^{2}+F{P}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}\sqrt{2}）^{2}+（\frac{7}{2}\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴GF=$\sqrt{29}$．

點評 本題為四邊形的綜合應用，涉及知識點有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等．在（1）中構造三角形全等是解題的關鍵，在（2）中構造三角形全等，巧妙利用好105°和120°角是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．