Question

如圖所示，OACB是矩形，C（a，b），點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：△AOE與△BOD的面積相等；
（2）求證：點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)；
（3）當(dāng)OE⊥DE時(shí)，試求OB²-OA²的值．

Answer 1

分析：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出△AOE與△BOD的面積即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，進(jìn)而得出E點(diǎn)是AC的中點(diǎn)；
（3）利用OE⊥DE得出△AOE∽△CED，進(jìn)而得出BO與AO的關(guān)系，進(jìn)而利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出即可．

解答：（1）證明：∵E，D點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，
∴E，D橫縱坐標(biāo)乘積相等，
∵△AOE為

1

2

×AO×AE=

1

2

xy=2，△BOD的面積為：

1

2

×BO×DB=

1

2

xy=2，
∴△AOE與△BOD的面積相等；

（2）證明：∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，△AOE與△BOD的面積相等，即

1

2

×AO×AE=

1

2

×BO×DB，
∴

1

2

×2BD×AE=

1

2

×BO×DB，
∴2AE=BO，
∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)；

（3）解：∵OE⊥DE，
∴∠CED+∠AEO=90°，
又∵∠AOE+∠AEC=90°，
∴∠AEO∠CDE，
∵∠OAE=∠C，
∴△AOE∽△CED，
∴

AO

EC

=

AE

CD

，
∵AE=EC，CD=BD
∴AE²=AO×CD=AO×

1

2

AO=

1

2

AO²，
∴（

BO

2

）²=

1

2

AO²，
即BO²=2AO²，則BO=

2

AO，
∴BO×BD=

2

AO×

1

2

AO=

2

2

AO²=k=4，
∴OB²-OA²=AO²=4÷

2

2

=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合和得出AO與BO的關(guān)系是解題關(guān)鍵．