Question

12．如圖，已知點A（m，m+1），B（m+3，m-1）
（1）求線段AB的長；
（2）若已知m=3，x軸上是否存在一點P，使得PA+PB的值最��？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 （1）直接用平面坐標系中兩點間的距離公式求解即可；
（2）先求出點A，B的坐標，再作出點A關(guān)于x軸的對稱點A'即可求出點A'的坐標，從而求出直線A'B的解析式，最后求出此直線和x軸的交點即可；
（3）先判斷出以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，AB只能是邊，分先將點B平移到x軸上和點A平移到x軸上兩種情況，利用平移的特點求出點M，N的坐標，最后求出MN解析式．

解答 解：（1）∵點A（m，m+1），B（m+3，m-1），
∴AB=$\sqrt{[（m+3）-m]^{2}+[（m-1）-（m+1）]^{2}}$
=$\sqrt{9+4}$
=$\sqrt{13}$，
（2）如圖1，

∵m=3，
∴A（3，4），B（6，2），
作出點A關(guān)于x軸的對稱點A'（3，-4），
∴設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$
∴直線A'B的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+6，
令y=0，則-$\frac{2}{3}$x+6=0，
∴x=9，
∴P（9，0）；
（3）如圖2，

∵M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴AB不可能是平行四邊形的對角線，只能是平行四邊形的一邊，
∵A（m，m+1），B（m+3，m-1）
①點B平移到x軸上，
∴將線段AB向下平移（m-1）個單位，點B落在x軸上，
∴平移后點A的對應(yīng)點C（m．（m+1）-（m-1）），即：C（m，2），
平移后點B的對應(yīng)點D（m+3，0）
∵點N在y軸上，
∴N（0，2），
再將線段CD向左平移m單位，點C落在y軸上，
∴M（（m+3）-m，0），即：M（3，0），
∴直線MN的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2．
②點A平移到x軸上，
如圖3，

同①的方法得出直線MN的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-2．
即：直線MN的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2或y=-$\frac{2}{3}$x-2．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了平面坐標系內(nèi)，兩點間的距離公式，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵確定出直線A'B的解析式．