【題目】如圖,直線y=﹣x+4與x軸,y軸分別交于點B,C,點A在x軸負(fù)半軸上,且OA=OB,拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A,B,C三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,過點P作PD⊥BC,垂足為D,用含m的代數(shù)式表示線段PD的長,并求出線段PD的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)PD=﹣(m﹣2)2+,,PD有最大值,最大值為.
【解析】
(1)先求出點A、B的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)先求出C、P的坐標(biāo),由此得到線段CP的長度,根據(jù)平行線的性質(zhì)得,解直角三角形即可求出PD的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最大值即可.
(1)在y=﹣x+4中,當(dāng)x=0時,y=4;當(dāng)y=0時,x=4,
∴B(4,0),C(0,4),
∴OB=OC=4,
∴OA=OB=2,
即A(﹣2,0),
把A(﹣2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4中,得
,解得,
拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+4;
(2)過P作PF∥y軸,交BC于F,
在Rt△OBC中,∵OB=OC=4,∴∠OCB=45°,
∴∠PFD=45°,
∴PD=PF,
由P(m,﹣m2+m+4),F(m,-m+4),得:PF=﹣m2+2m,
∴PD=(﹣m2+2m)
=﹣(m﹣2)2+,其中,0<m<4,
∵﹣<0,
∴當(dāng)m=2時,PD有最大值,最大值為.
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【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°.若固定△ABC,將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn).
(1)當(dāng)△DEC統(tǒng)點C旋轉(zhuǎn)到點D恰好落在AB邊上時,如圖2.
①當(dāng)∠B=∠E=30°時,此時旋轉(zhuǎn)角的大小為 ;
②當(dāng)∠B=∠E=α時,此時旋轉(zhuǎn)角的大小為 (用含a的式子表示).
(2)當(dāng)△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時,小楊同學(xué)猜想:△BDC的面積與△AEC的面積相等,試判斷小楊同學(xué)的猜想是否正確,若正確,請你證明小楊同學(xué)的猜想.若不正確,請說明理由.
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【題目】如圖,正方形的頂點A,C分別在y軸和x軸上,邊BC的中點F在y軸上,若反比例函數(shù)y=的圖象恰好經(jīng)過CD的中點E,則OA的長為______.
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【題目】2016年3月國際風(fēng)箏節(jié)期間,王大伯決定銷售一批風(fēng)箏,經(jīng)市場調(diào)研:蝙蝠型風(fēng)箏進(jìn)價每個為10元,當(dāng)售價每個為12元時,銷售量為180個,若售價每提高1元,銷售量就會減少10個,請回答以下問題:
(1)用表達(dá)式表示蝙蝠型風(fēng)箏銷售量y(個)與售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系(12≤x≤30);
(2)王大伯為了讓利給顧客,并同時獲得840元利潤,售價應(yīng)定為多少?
(3)當(dāng)售價定為多少時,王大伯獲得利潤W最大,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,拋物線 y=﹣x2+bx+c 與 x 軸交于 A、B 兩點,與 y 軸交于點 C ,點 A 的坐標(biāo)為(-1,0),點 C 的坐標(biāo)為(0,3),點D和點 C 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,直線 AD 與 y 軸交于點 E .
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,直線 AD 上方的拋物線上有一點 F,過點 F 作 FG⊥AD 于點 G,作 FH 平行于 x 軸交直線 AD 于點 H,求△FGH 周長的最大值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(-2,0),B(4,0),與直線交于點C(0,-3),直線與x軸交于點D.
(1)求該拋物線的解析式.
(2)點P是拋物線上第四象限上的一個動點,連接PC,PD,當(dāng)△PCD的面積最大時,求點P的坐標(biāo).
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【題目】家用電滅蚊器的發(fā)熱部分使用了PTC發(fā)熱材料,它的電阻R(kΩ)隨溫度t(℃)(在一定范圍內(nèi))變化的大致圖象如圖所示.通電后,發(fā)熱材料的溫度在由室溫10℃上升到30℃的過程中,電阻與溫度成反例關(guān)系,且在溫度達(dá)到30℃時,電阻下降到最小值;隨后電阻承溫度升高而增加,溫度每上升1℃,電阻增加kΩ.
(1)求R和t之間的關(guān)系式;
(2)家用電滅蚊器在使用過程中,溫度在什么范圍內(nèi)時,發(fā)熱材料的電阻不超過4kΩ.
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【題目】某超市為了銷售一種新型“吸水拖把”,對銷售情況作了調(diào)查,結(jié)果發(fā)現(xiàn)每月銷售量y(只)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,所調(diào)查的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:(已知每只進(jìn)價為10元,銷售單價為整數(shù),每只利潤=銷售單價﹣進(jìn)價)
銷售單價x(元) | 20 | 22 | 25 | … |
月銷售額y(只) | 300 | 280 | 250 | … |
(1)求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式
(2)該新型“吸水拖把”每月的總利潤為w(元),求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并指出銷售單價為多少元時利潤最大,最大利潤是多少元?
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是BC,AC,AB上的點,DE⊥AC,EF⊥AB,
FD⊥BC,則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于( )
A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3
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