Question

【題目】已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

（1）請求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）將拋物線繞平面內(nèi)的某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè))，使得拋物線過點(diǎn)，且以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請求出所有滿足條件的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）、；（2）、

【解析】

（1）將x＝0代入即可求得點(diǎn)C坐標(biāo)，將函數(shù)關(guān)系式配成頂點(diǎn)式即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）先根據(jù)中心對稱可得點(diǎn)在拋物線的圖像上，當(dāng)點(diǎn)拋物線對稱軸的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)作M'G⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CM∥M'F，CM＝M'F，進(jìn)而可證得△CGM≌△M'HF，從而可得點(diǎn)M'的縱坐標(biāo)，代入拋物線即可求得點(diǎn)M'的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)拋物線對稱軸的左側(cè)時(shí)，同理可得．

解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,5），

∵，

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，－4），

（2）∵拋物線繞平面內(nèi)的某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，

∴與關(guān)于該點(diǎn)成中心對稱

∵經(jīng)過的頂點(diǎn)，

∴經(jīng)過的頂點(diǎn)，

如圖，當(dāng)點(diǎn)拋物線對稱軸的右側(cè)時(shí)，

過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)作M'G⊥x軸于點(diǎn)H，

當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，則CM∥M'F，CM＝M'F，

∴△CGM≌△M'HF，

∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,5），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，－4），

∴M'H＝CG＝5－（－4）＝9，

∴點(diǎn)M'的縱坐標(biāo)為9，

將y＝9代入得

，

解得

∴此時(shí)點(diǎn)M'的坐標(biāo)為，

如圖，當(dāng)點(diǎn)拋物線對稱軸的左側(cè)時(shí)，

同理可得，此時(shí)點(diǎn)M'的坐標(biāo)為，

綜上所述，此時(shí)點(diǎn)M'的坐標(biāo)為或