Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過圓外一點E作EF與⊙O相切于G，交AB的延長線于F，EC⊥AB于H，交⊙O于D，C兩點，連接AG交DC于K．

（1）求證：EG＝EK；

（2）連接AC，若AC∥EF，cosC＝，AK＝，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OG．根據切線的性質得到∠OGE＝90°，證明∠EKG＝∠AGE，根據等腰三角形的判定定理證明結論；

（2）連接OC，設CH＝4k，根據余弦的定義、勾股定理用k表示出AC、AH，根據勾股定理列式求出k，設⊙O半徑為R，根據勾股定理列式求出R，根據余弦的定義求出OF，計算即可．

解：連接OG．

∵EF是⊙O的切線，

∴∠OGE＝90°，即∠OGA+∠AGE＝90°．

∵OA＝OG，

∴∠OGA＝∠OAG，

∴∠OAG+∠AGE＝90°．

∵CD⊥AB，

∴∠AHK＝90°，則∠OAG+∠AKH＝90°．

∴∠AKH＝∠AGE．

∵∠AKH＝∠EKG，

∴∠EKG＝∠AGE，

∴EG＝EK；

（2）如圖，連接OC，

設CH＝4k，

∵cos∠ACH＝，

∴AC＝5k，

由勾股定理得，AH＝＝3k，

∵AC∥EF，

∴∠CAK＝∠EGA，

又∠AKC＝∠EKG，而由（1）知∠EKG＝∠EGA，

∴∠CAK＝∠CKA，

∴CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．

在Rt△AHK中，AH2+HK2＝AK2，即（3k）2+k2＝（）2，

解得，k＝1，

則CH＝4，AC＝5，AH＝3，

設⊙O半徑為R，在Rt△OCH中，OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，

解得，R＝，

由AC∥EF知，∠CAH＝∠F，則∠ACH＝∠GOF，

在Rt△OGF中，cos∠ACH＝cos∠GOF＝，

解得，OF＝，

∴BF＝OF﹣OB＝．