【題目】如圖①,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于點H,點D在AH上,且DH=CH,連接BD.(1)求證:BD=AC;

(2)將△BHD繞點H旋轉(zhuǎn),得到△EHF(點B,D分別與點E,F(xiàn)對應(yīng)),連接AE.

。┤鐖D②,當(dāng)點F落在AC上時(F不與C重合),若BC=4,tanC=3,求AE的長;

ⅱ)如圖③,當(dāng)△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到時,設(shè)射線CF與AE相交于點G,連接GH,試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系,并說明理由。

【答案】(1)證明見解析;(2)(I)AE=;(II) .

【解析】(1)先判斷出AH=BH,再判斷出△BHD≌△AHC即可;

(2)①先根據(jù)tanC=3,求出AH=3,CH=1,然后根據(jù)△EHA≌△FHC,得到,HP=3AP,AE=2AP,最后用勾股定理即可;

②先判斷出△AGQ∽△CHQ,得到,然后判斷出△AQC∽△GQH,用相似比即可.

解:(1)在Rt△AHB中,∠ABC=45°,

∴AH=BH,

在△BHD和△AHC中,

AH=BH,∠BHD=∠AHC=90°,DH=CH,

∴△BHD≌△AHC,

∴BD=AC,

(2)①如圖,

在Rt△AHC中,

∵tanC=3,∴=3,

設(shè)CH=x,∴BH=AH=3x,

∵BC=4,∴3x+x=4,∴x=1,

∴AH=3,CH=1,

由旋轉(zhuǎn)知,∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,

∴∠EHA=∠FHC, ,

∴△EHA≌△FHC,

∴∠EAH=∠C,

∴tan∠EAH=tanC=3,

過點H作HP⊥AE,

∴HP=3AP,AE=2AP,

在Rt△AHP中,AP2+HP2=AH2,

∴AP2+(3AP)2=9,

∴AP=,

∴AE=

②由①有,△AEH和△FHC都為等腰三角形,

∴∠GAH=∠HCG=90°,

∴△AGQ∽△CHQ,

,

∵∠AQC=∠GQE,

∴△AQC∽△GQH,

=sin30°=

  “點睛”此題是幾何變換綜合題,主要考查例 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,銳角三角函數(shù)的意義,等腰三角形的判定和性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是相似三角形性質(zhì)和判定的運用.

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