【題目】已知拋物線頂點在軸負(fù)半軸上,與軸交于點,,為等腰直角三角形.
(1)求拋物線的解析式
(2)若點在拋物線上,若為直角三角形,求點的坐標(biāo)
(3)已知直線過點,交拋物線于點、,過作軸,交拋物線于點,求證:直線經(jīng)過一個定點,并求定點的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)或;(3)(-1,4)
【解析】
(1)先求出頂點坐標(biāo)與y軸交點坐標(biāo),根據(jù)頂點式求二次函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)直角三角形的判定定理找出△ABC為直角三角形,分三種情況:當(dāng)A為直角頂點時,AC⊥AB;當(dāng)B為直角頂點時,BC⊥AB;當(dāng)C為直角頂點,分別確定點C的坐標(biāo);
(3)根據(jù)二次函數(shù)與方程的關(guān)系求解.
(1)∵OB=1,點B在y軸的正半軸上,
∴B(0,1),
∵△OAB為等腰直角三角形,
∴OA=OB=1,
∵頂點A在x軸負(fù)半軸上,
∴頂點A(-1,0),
∴設(shè)y=a(x+1)2,
把B(0,1)代入得
1=a×(0+1)2,
∴a=1,
∴,
(2)當(dāng)A為直角頂點時,AC⊥AB,
設(shè)直線AB解析式為y=mx+n,
∵B(0,1),A(-1,0),
∴,
∴,
∴直線AB解析式為y=x+1,
∵AC⊥AB,
∴直線AC解析式為y=-x-1,
聯(lián)立得,
解得:,,
∴C(-2,1).
當(dāng)B為直角頂點時,BC⊥AB,
∵直線AB解析式為y=x+1,
∴直線BC解析式為y=-x+1,
同理可得C(-3,4),
當(dāng)C為直角頂點不存在 .
綜上所述點C坐標(biāo)為(-2,1)或(-3,4),
(3)設(shè)DE的解析式為,
聯(lián)立,
∴,
得:,
∵D,E關(guān)于對稱軸對稱,
所以,
設(shè)EF的解析式為聯(lián)立,
,
得,
,
聯(lián)立①②③④得n=m+4,
所以,過定點(-1,4),
即直線EF經(jīng)過一個定點,定點的坐標(biāo)為(-1,4).
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【題目】如圖,一段拋物線:y=-x(x-2)(0≤x≤2)記為C1 ,它與x軸交于兩點O,A;將C1繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到C2 , 交x軸于A1;將C2繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得到C3 , 交x軸于點A2 . .....如此進(jìn)行下去,直至得到C2018 , 若點P(4035,m)在第2018段拋物線上,則m的值為________.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(﹣3,0)和B(1,0)兩點,交y軸于點C(0,3),點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點,一次函數(shù)的圖象過點B、D.
(1)請直接寫出D點的坐標(biāo).
(2)求二次函數(shù)的解析式.
(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.
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【題目】我們知道:有一內(nèi)角為直角的三角形叫做直角三角形.類似地我們定義:有一內(nèi)角為45°的三角形叫做半直角三角形.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,A(4,0),B(-4,0),D是y軸上的一個動點,∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列), BC與經(jīng)過A、B、D三點的⊙M交于點E,DE平分∠ADC,連結(jié)AE,BD.顯然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形.
(1)求證:ΔABC是半直角三角形;
(2)求證:∠DEC=∠DEA;
(3)若點D的坐標(biāo)為(0,8),求AE的長;
(4)BC交y軸于點N,問的值是否發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請求出其值;若發(fā)生變化,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+8與x軸相交于點A(﹣2,0)和點B(4,0),與y軸相交于點C,頂點為點P.點D(0,4)在OC上,聯(lián)結(jié)BC、BD.
(1)求拋物線的表達(dá)式并直接寫出點P的坐標(biāo);
(2)點E為第一象限內(nèi)拋物線上一點,如果△COE與△BCD的面積相等,求點E的坐標(biāo);
(3)點Q在拋物線對稱軸上,如果△BCD∽△CPQ,求點Q的坐標(biāo).
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【題目】某商店經(jīng)過市場調(diào)查,整理出某種商品在第x(x≤90)天的售價與銷量的相關(guān)信息如右表.已知該商品的進(jìn)價為每件30元,設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元.
時間x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售價(元件) | x+40 | 90 |
每天銷量(件) | 200-2x |
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當(dāng)天銷售利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,有一座拱橋是圓弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圓弧所在的圓的半徑r的長;
(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時,要采取緊急措施,若拱頂離水面只有4米,即PE=4米時,是否要采取緊急措施?
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【題目】在等腰△ABC中,AB=AC,將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到BD,使BD⊥AC于H,連結(jié)AD并延長交BC的延長線于點P.
(1)依題意補全圖形;
(2)若∠BAC=2α,求∠BDA的大。ㄓ煤α的式子表示);
(3)小明作了點D關(guān)于直線BC的對稱點點E,從而用等式表示線段DP與BC之間的數(shù)量關(guān)系.請你用小明的思路補全圖形并證明線段DP與BC之間的數(shù)量關(guān)系.
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