Question

28、作圖題：
如圖（1）和（2），P是直線m一動(dòng)點(diǎn)，A．B兩點(diǎn)在m的同側(cè)，且A、B所在直線與m不平行．（不寫作法，請(qǐng)保留作圖痕跡．）
（1）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P₁位置時(shí)，距離A點(diǎn)最近；運(yùn)動(dòng)到P₂位置時(shí)，距離B點(diǎn)最近，在圖8（1）中的直線m上分別畫出點(diǎn)P₁、P₂的位置；
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P₃位置時(shí)，與A點(diǎn)的距離和與B點(diǎn)距離相等．請(qǐng)?jiān)趫D8（1）中作出P₃位置；
（3）在直線m上是否存在這樣一點(diǎn)P₄使得到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之和最小，若存在請(qǐng)?jiān)趫D8（2）中作出這點(diǎn)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）在直線m上是否存在這樣一點(diǎn)P₅使得到B點(diǎn)的距離與到A點(diǎn)的距離之差最大．若存在請(qǐng)?jiān)趫D8（2）中作出這點(diǎn)．若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)AP₁⊥m時(shí)，P₁距離點(diǎn)A最近；當(dāng)BP₂⊥m時(shí)，P₂距離點(diǎn)B最近；
（2）作AB的垂直平分線交m于點(diǎn)P₃即可；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線m于點(diǎn)P₄；
（4）求P₅的方法和（3）相同．

解答：解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．

點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：垂線段最短；與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；求一直線同側(cè)兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離之和最小，或是求這兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大，都應(yīng)從作一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)入手思考．