已知二次函數(shù)y=x2-mx+m-2.
(1)求證:無論m為任何實數(shù),該二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個交點;
(2)當該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,6)時,求二次函數(shù)的解析式;
(3)將直線y=x向下平移2個單位長度后與(2)中的拋物線交于A、B兩點(點A在點B的左邊),一個動點P自A點出發(fā),先到達拋物線的對稱軸上的某點E,再到達x軸上的某點F,最后運動到點B.求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標,并求出這個最短總路徑的長.
(1)證明:令y=0,則x2-mx+m-2=0,
∵△=(-m)2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4,(1分)
又∵(m-2)2≥0,
∴(m-2)2+4>0,即△>0.
∴無論m為任何實數(shù),一元二次方程x2-mx+m-2=0總有兩不等實根;
∴該二次函數(shù)圖象與x軸都有兩個交點.(2分)

(2)∵二次函數(shù)y=x2-mx+m-2的圖象經(jīng)過點(3,6),
∴32-3m+m-2=6,
解得m=
1
2
;
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-
1
2
x-
3
2
.(3分)

(3)將y=x向下平移2個單位長度后得到解析式為:y=x-2,(4分)
解方程組
y=x-2
y=x2-
1
2
x-
3
2

x1=
1
2
y1=-
3
2
x2=1
y2=-1
;
∴直線y=x-2與拋物線y=x2-
1
2
x-
3
2
的交點為A(
1
2
,-
3
2
)
,&B(1,-1)
;
∴點A關(guān)于對稱軸x=
1
4
的對稱點是A′(0,-
3
2
)
,
點B關(guān)于x軸的對稱點是B'(1,1),設(shè)過點A'、B'的直線解析式為y=kx+b;
b=-
3
2
k+b=1
,
k=
5
2
b=-
3
2

∴直線A'B'的解析式為y=
5
2
x-
3
2
;
∴直線A'B'與x軸的交點為F(
3
5
,0)
(5分)
與直線x=
1
4
的交點為E(
1
4
,-
7
8
)
(6分)
則點E(
1
4
,-
7
8
)
、F(
3
5
,0)
為所求;
過點B'做B'H⊥AA'的延長線于點H,
B′H=
5
2
,HA'=1;
在Rt△A'B'H中,A′B′=
B′H2+A′H2
=
29
2
,
∴所求最短總路徑的長為AE+EF+FB=A'B'=
29
2
.(7分)
練習冊系列答案
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如圖①是拋物線形拱橋,當水面在n時,拱頂離水面2米,水面寬4米.
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輸入12345
輸出25101726
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(3)點M,N分別在線段AQ、CQ上,點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動,同時,點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動,當點M,N中有一點到達Q點時,兩點同時停止運動,設(shè)運動時間為t秒.
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(1)求該拋物線的解析式;
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(3)在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點R,使△RPM與△RMB的面積相等?若存在,直接寫出點R的坐標;若不存在,說明理由.

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(2)請用含x的代數(shù)式表示S,并在給定的直角坐標系內(nèi)畫出該函數(shù)的示意圖;
(3)利用函數(shù)圖象回答(2)中:當x取何值時,S有最大值?最大值是多少?

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(2)生物園的面積能否達到210平方米?說明理由.

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