【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=1,tan∠BAO=3,將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為t,
①設(shè)拋物線對(duì)稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E,連接PE,交CD于F,求出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo);
②是否存在一點(diǎn)P,使△PCD的面積最大?若存在,求出△PCD的面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO= =3,
∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1,
∴A、B、C的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,3)(﹣3,0).
代入解析式為
,
解得: .
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3
(2)解:①∵拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,
∴對(duì)稱軸l=﹣ =﹣1,
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,0).
如圖,
當(dāng)∠CEF=90°時(shí),△CEF∽△COD.此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上,即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn),P(﹣1,4);
當(dāng)∠CFE=90°時(shí),△CFE∽△COD,過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,則△EFC∽△EMP.
∴ ,
∴MP=3EM.
∵P的橫坐標(biāo)為t,
∴P(t,﹣t2﹣2t+3).
∵P在第二象限,
∴PM=﹣t2﹣2t+3,EM=﹣1﹣t,
∴﹣t2﹣2t+3=﹣(t﹣1)(t+3),
解得:t1=﹣2,t2=﹣3(因?yàn)镻與C重合,所以舍去),
∴t=﹣2時(shí),y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3.
∴P(﹣2,3).
∴當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(﹣1,4)或(﹣2,3);
②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,由題意,得
,
解得: ,
∴直線CD的解析式為:y= x+1.
設(shè)PM與CD的交點(diǎn)為N,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t, t+1),
∴NM= t+1.
∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣( t+1)=﹣t2﹣ +2.
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN,
∴S△PCD= PNCM+ PNOM
= PN(CM+OM)
= PNOC
= ×3(﹣t2﹣ +2)
=﹣ (t+ )
∴當(dāng)t=﹣ 時(shí),S△PCD的最大值為 .
【解析】(1)先求出A、B、C的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法就可以直接求出二次函數(shù)的解析式;(2)①拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,故可以求出拋物線的對(duì)稱軸,分類討論當(dāng)∠CEF=90°時(shí),△CEF∽△COD.此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上,即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn),當(dāng)∠CFE=90°時(shí),△CFE∽△COD,過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,則△EFC∽△EMP.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,由待定系數(shù)法即可求出解析式,設(shè)PM與CD的交點(diǎn)為N,根據(jù)CD的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo),再根據(jù)S△PCD=S△PCN+S△PDN,就可以表示出△PCD的面積,利用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為(0,4)、(2,0),點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn),若BC=3AC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____.
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【題目】如下圖時(shí)用黑色的正六邊形和白色的正方形按照一定的規(guī)律組合而成的兩色圖案
(1)當(dāng)黑色的正六邊形的塊數(shù)為1時(shí),有6塊白色的正方形配套;當(dāng)黑色的正六邊形塊數(shù)為2時(shí),有11塊白色的正方形配套;則當(dāng)黑色的正六邊形塊數(shù)為3,10時(shí),分別寫出白色的正方形配套塊數(shù);
(2)當(dāng)白色的正方形塊數(shù)為201時(shí),求黑色的正六邊形的塊數(shù).
(3)組成白色的正方形的塊數(shù)能否為100,如果能,求出黑色的正六邊形的塊數(shù),如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由
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【題目】“五一勞動(dòng)節(jié)大酬賓!”,某商場(chǎng)設(shè)計(jì)的促銷活動(dòng)如下:在一個(gè)不透明的箱子里放有4個(gè)相同的小球,球上分別標(biāo)有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字樣.規(guī)定:在本商場(chǎng)同一日內(nèi),顧客每消費(fèi)滿300元,就可以在箱子里先后摸出兩個(gè)球(第一次摸出后不放回).商場(chǎng)根據(jù)兩小球所標(biāo)金額的和返還相等價(jià)格的購(gòu)物券,購(gòu)物券可以在本商場(chǎng)消費(fèi).某顧客剛好消費(fèi)300元.
(1)該顧客至多可得到元購(gòu)物券;
(2)請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購(gòu)物券的金額不低于50元的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園.
如圖所示,圖中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x表示科技館從8:30開門后經(jīng)過的時(shí)間(分鐘),縱坐標(biāo)y表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù).圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y= ,10:00之后來(lái)的游客較少可忽略不計(jì).
(1)請(qǐng)寫出圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量,館內(nèi)人數(shù)不超過684人,后來(lái)的人在館外休息區(qū)等待.從10:30開始到12:00館內(nèi)陸續(xù)有人離館,平均每分鐘離館4人,直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時(shí),館外等待的游客可全部進(jìn)入.請(qǐng)問館外游客最多等待多少分鐘?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,MN,EF是兩面互相平行的鏡面,根據(jù)鏡面反射規(guī)律,若一束光線AB照射到鏡面MN上,反射光線為BC,則一定有∠1=∠2.試根據(jù)這一規(guī)律:
(1)利用直尺和量角器作出光線BC經(jīng)鏡面EF反射后的反射光線CD;
(2)試判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買若干臺(tái)A型電腦和B型打印機(jī).如果購(gòu)買1臺(tái)A型電腦,2臺(tái)B型打印機(jī),一共需要花費(fèi)5900元;如果購(gòu)買2臺(tái)A型電腦,2臺(tái)B型打印機(jī),一共需要花費(fèi)9400元.
(1)求每臺(tái)A型電腦和每臺(tái)B型打印機(jī)的價(jià)格分別是多少元?
(2)如果學(xué)校購(gòu)買A型電腦和B型打印機(jī)的預(yù)算費(fèi)用不超過20000元,并且購(gòu)買B型打印機(jī)的臺(tái)數(shù)要比購(gòu)買A型電腦的臺(tái)數(shù)多1臺(tái),那么該學(xué)校至多能購(gòu)買多少臺(tái)B型打印機(jī)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,AD的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
求證:(1)∠EAD=∠EDA;
(2)DF∥AC.
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【題目】如圖,已知A:(1,0).A(1,-1),A(-1,-l).A (-1, 1), A (2, 1),...則點(diǎn)A的坐標(biāo)是( )
A.(506,505)B.(-505,-505)C.(505,-505)D.(-505,505)
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