Question

（2012•延慶縣一模）已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）當BD=6，sinC=

3

5

時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形性質求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定定理推出即可；
（2）根據(jù)sinC=

3

5

求出AB=BC=10，設⊙O 的半徑為r，則AO=10-r，得出sinA=sinC=

3

5

，根據(jù)OE⊥AC，得出sinA=

OE

OA

=

r

10-r

=

3

5

，即可求出半徑．

解答：（1）證明：連接OE，
∵AB=BC且D是AC中點，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE為⊙O半徑，
∴AC與⊙O相切．

（2）解：∵BD=6，sinC=

3

5

，BD⊥AC，
∴BC=10，
∴AB=BC=10，
設⊙O 的半徑為r，則AO=10-r，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=

3

5

，
∵AC與⊙O相切于點E，
∴OE⊥AC，
∴sinA=

OE

OA

=

r

10-r

=

3

5

，
∴r=

15

4

，
答：⊙O的半徑是

15

4

…

點評：本題考查了平行線的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，解直角三角形，切線的性質和判定的應用，解（1）小題的關鍵是求出OE∥BD，解（2）小題的關鍵是得出關于r的方程，題型較好，難度適中，用了方程思想．