Question

（2012•大連）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-

3

，0）、B（3

3

，0）、C（0，3）三點(diǎn)，線段BC與拋物線的對稱軸相交于D．該拋物線的頂點(diǎn)為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使以Q、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ADP全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）將∠CED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊EC旋轉(zhuǎn)后與線段BC相交于點(diǎn)M，邊ED旋轉(zhuǎn)后與對稱軸相交于點(diǎn)N，連接PM、DN，若PM=2DN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線經(jīng)過的三點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）由于點(diǎn)Q的位置可能有四處，所以利用幾何法求解較為復(fù)雜，所以可考慮直接用SSS判定兩三角形全等的方法來求解．那么，首先要證明CD=DP，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)后，表示出QC、QD的長，然后由另兩組對應(yīng)邊相等列方程來確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)B、D的坐標(biāo)，容易判斷出△CDE是等邊三角形，然后通過證△CEM、△DEN全等來得出CM=DN，首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出PM、CM的長，由PM=2DN=2CM列方程確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到CM的長后，即可得出DN的長，由此求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+

3

）（x-3

3

），代入點(diǎn)C（0，3）后，得：
a（0+

3

）（0-3

3

）=3，解得 a=-

1

3

∴拋物線的解析式：y=-

1

3

（x+

3

）（x-3

3

）=-

1

3

x²+

2 3

3

x+3．

（2）設(shè)直線BC的解析式：y=kx+b，依題意，有：

3 3 k+b=0 b=3

，
解得

k=- 3 3 b=3

．
故直線BC：y=-

3

3

x+3．
由拋物線的解析式知：P（

3

，4），將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線BC中，得：D（

3

，2）．
設(shè)點(diǎn)Q（x，y），則有：
QC²=（x-0）²+（y-3）²=x²+y²-6y+9、QD²=（x-

3

）²+（y-2）²=x²+y²-2

3

x-4y+7；
而：PA²=（-

3

-

3

）²+（0-4）²=28、AD²=（-

3

-

3

）²+（0-2）²=16、CD=PD=2；
△QCD和△APD中，CD=PD，若兩個(gè)三角形全等，則：
①Q(mào)C=AP、QD=AD時(shí)，

x2+y2-6y-19=0 x2+y2-2 3 x-4y-9=0

②QC=AD、QD=AP時(shí)，

x2+y2-6y-7=0 x2+y2-2 3 x-4y-21=0

解①、②的方程組，得：

x1=3 3 y1=4

、

x2= 3 y2=-2

、

x3=0 y3=7

、

x4=-2 3 y4=1

；
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3

3

，4）、（

3

，-2）、（-2

3

，1）或（0，7）．

（3）根據(jù)題意作圖如右圖；
由D（

3

，2）、B（3

3

，0）知：DF=2，BF=2

3

；
∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等邊三角形；
在△CEM和△DEN中，

∠CEM=∠DEN ∠ECM=∠EDN=60° CE=DE

∴△CEM≌△DEN，則 CM=DN，PM=2CM=2DN；
設(shè)點(diǎn)M（x，-

3

3

x+3），則有：
PM²=（

3

-x）²+（4+

3

3

x-3）²=

4

3

x²-

4

3

3

x+4、CM²=x²+

1

3

x²=

4

3

x²；
已知：PM²=4CM²，則有：

4

3

x²-

4

3

3

x+4=4×

4

3

x²，解得 x=

3 ( 13 -1)

6

；
∴CM=DN=

2 3

3

×x=

2 3

3

×

3 ( 13 -1)

6

=

13 -1

3

；
則：FN=DF-DN=2-

13 -1

3

=

7- 13

3

，
∴點(diǎn)N（

3

，

7- 13

3

）．

點(diǎn)評：該題的難度較大，涉及到：函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)以及全等三角形的應(yīng)用等重點(diǎn)知識．在解題時(shí)，一定要注意從圖中找出合適的解題思路；能否將瑣碎的知識運(yùn)用到同一題目中進(jìn)行解答，也是對基礎(chǔ)知識掌握情況的重點(diǎn)考查．