Question

如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AF為△ABC的角平分線，分別過(guò)點(diǎn)C、B作AF的垂線，垂足分別為E、D．以下結(jié)論：①CE=DE=BD；②AF=2BD；③CE+EF=AE；④=．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：延長(zhǎng)線段BD與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，然后由兩個(gè)角相等得出三角形ACE與三角形ABD相似，且相似比等于1比，得出三角形ACF與三角形BMC全等，即可得出CE與DE相等且等于BD，AF等于2BD，然后由三角形CEF與三角形BDF相似，且相似比也等于1比，如果EF=1，則DF=，設(shè)AE=x，則AD=x，利用AE+EF+0D等于AD列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后表示出AF，求出AF與FD的比值即可．
解答：解：延長(zhǎng)線段BD與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M
∵AD為∠CAB的平分線，AD⊥MB，
∴AM=AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AF為△ABC的角平分線，
∴∠AFC=90°-∠CAD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠M=∠AFC=67.5°，
又∵∠ACF=∠BCM=90°，AC=BC，
∴△ACF≌△BCM，
∴AF=BM=2BD，故②正確；
又∵AD為∠CAB的平分線，
∴∠CAD=∠BAD，且∠AEC=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ABD，
∴===，
∴CE=DE=BD，故①正確；
又∵△CEF∽△BDF，
∴=，設(shè)AE=x，則AD=x，
∴x+1+=x，
解得x=
∴==，故④正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判斷解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是一道綜合題．