Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結論：

①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當AE=AF時，；④BE+DF=EF；⑤若點F是DC的中點，則CECB．

其中正確的個數(shù)是(　　)

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

①如圖，證明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，
②利用相似三角形的性質(zhì)可得∠NAE=∠AEN=45°，則△AEN是等腰直角三角形可作判斷；
③先證明CE=CF，假設正方形邊長為1，設CE=x，則BE=1-x，表示AC的長為AO+OC可作判斷；
④如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH（SAS），則EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判斷；
⑤如圖4中，設正方形的邊長為2a，則DF=CF=a，AF=a，想辦法求出BE，EC即可判斷．

如圖，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．

∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴，

∴，

∵∠AMB=∠EMN，

∴△AMB∽△NME，故①正確，

∴∠AEN=∠ABD=45°，

∴∠NAE=∠AEN=45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，故②正確，

在△ABE和△ADF中，

∵，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．

∵BC=CD，∴CE=CF，

假設正方形邊長為1，設CE=x，則BE=1﹣x，

如圖2，連接AC，交EF于H，

∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分線，

∴AC⊥EF，OE=OF，

Rt△CEF中，OCEFx，

在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，

∴OE=BE．

∵AE=AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，

∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，

∴1x，

∴x=2，

∴，故③不正確，

③如圖3，

∴將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，

則AF=AH，∠DAF=∠BAH．

∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．

∵∠ABE=∠ABH=90°，

∴H、B、E三點共線，

在△AEF和△AEH中，

，

∴△AEF≌△AEH(SAS)，

∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正確，

如圖4中，設正方形的邊長為2a，則DF=CF=a，AFa，

∵DF∥AB，∴，

∴AN=NEAFa，

∴AEANa，

∴BEa，

∴ECaBC，故⑤正確．

故選：C．