【題目】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF=45°,AEAF分別交BDM、N,連按EN、EF,有以下結論:

ABM∽△NEM;AEN是等腰直角三角形;AE=AF時,BE+DF=EF;若點FDC的中點,則CECB

其中正確的個數(shù)是(  )

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

①如圖,證明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME,
②利用相似三角形的性質(zhì)可得∠NAE=AEN=45°,則△AEN是等腰直角三角形可作判斷;
③先證明CE=CF,假設正方形邊長為1,設CE=x,則BE=1-x,表示AC的長為AO+OC可作判斷;
④如圖3,將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH,證明△AEF≌△AEHSAS),則EF=EH=BE+BH=BE+DF,可作判斷;
⑤如圖4中,設正方形的邊長為2a,則DF=CF=aAF=a,想辦法求出BE,EC即可判斷.

如圖,∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠EBM=ADM=FDN=ABD=45°

∵∠MAN=EBM=45°,∠AMN=BME,

∴△AMN∽△BME

,

∵∠AMB=EMN,

∴△AMB∽△NME,故①正確,

∴∠AEN=ABD=45°,

∴∠NAE=AEN=45°,

∴△AEN是等腰直角三角形,故②正確,

ABEADF中,

,

RtABERtADF(HL),∴BE=DF

BC=CD,∴CE=CF,

假設正方形邊長為1,設CE=x,則BE=1x,

如圖2,連接AC,交EFH,

AE=AF,CE=CF,∴ACEF的垂直平分線,

ACEF,OE=OF

RtCEF中,OCEFx

EAF中,∠EAO=FAO=22.5°=BAE=22.5°,

OE=BE

AE=AE,

RtABERtAOE(HL),

AO=AB=1,∴ACAO+OC,

1x

x=2,

,故③不正確,

③如圖3,

∴將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABH

AF=AH,∠DAF=BAH

∵∠EAF=45°=DAF+BAE=HAE

∵∠ABE=ABH=90°

H、B、E三點共線,

AEFAEH中,

AEF≌△AEH(SAS),

EF=EH=BE+BH=BE+DF,故④正確,

如圖4中,設正方形的邊長為2a,則DF=CF=a,AFa,

DFAB,∴,

AN=NEAFa,

AEANa

BEa,

ECaBC,故⑤正確.

故選:C

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A.1B.2C.3D.4

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