Question

【題目】操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形上，并使它的直角頂點(diǎn)在對(duì)角線上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一邊與射線相交于點(diǎn)．

探究：設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為．

（1）點(diǎn)在邊上時(shí)，線段與線段之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論（如圖1）；

（2）點(diǎn)在邊上時(shí)設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍（如圖2）；

（3）點(diǎn)在線段上滑動(dòng)時(shí)，是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使成為等腰三角形的點(diǎn)的位置，并直接寫(xiě)出相應(yīng)的的值；如果不可能，試說(shuō)明理由（如圖3）．（圖4、圖5、圖6的形狀、大小相同，圖4供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖5和圖6備用）．

Answer 1

【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）（）；（3）可能成為等腰三角形，Q與點(diǎn)D重合時(shí)，x=0；Q在邊DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，x=1

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作，分別交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，和都是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和等量代換證明，從而可證；

（2）設(shè)，然后分別表示出BM,CQ,PN的長(zhǎng)度，然后利用和求出各自的面積 ，最后利用即可求解；

（3）分三種情況：點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合；當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上；Q與點(diǎn)C重合，分別進(jìn)行討論即可得出答案．

（1），理由如下：

過(guò)點(diǎn)P作，分別交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴．

,

，

，

∴和都是等腰直角三角形，

∴．

，

．

又∵，

．

，

，

；

（2）由（1）知，則，

∵，

，

，

，

，

∴，

即（）；

（3）可能成為等腰三角形，理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)；

②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，是等腰三角形，如圖，

此時(shí)，

，

當(dāng)時(shí)，解得；

③，Q與點(diǎn)C重合，, 不存在；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，為等腰三角形．