Question

4．已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？
古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個(gè)問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計(jì)算公式--海倫公式S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$（其中a，b，c是三角形的三邊長，p=$\frac{a+b+c}{2}$，S為三角形的面積），并給出了證明
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計(jì)算：
∵a=3，b=4，c=5
∴p=$\frac{a+b+c}{2}$=6
∴S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$=$\sqrt{6×3×2×1}$=6
事實(shí)上，對(duì)于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決．
如圖，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海倫公式求△ABC的面積；
（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑r．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)BC、AC、AB的長求出P，再代入到公式S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$即可求得S的值；
（2）根據(jù)公式S=$\frac{1}{2}$r（AC+BC+AB），代入可得關(guān)于r的方程，解方程得r的值．

解答 解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，
∴p=$\frac{BC+AC+AB}{2}$=$\frac{5+6+9}{2}$=10，
∴S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$=$\sqrt{10×5×4×1}$=10$\sqrt{2}$；
故△ABC的面積10$\sqrt{2}$；

（2）∵S=$\frac{1}{2}$r（AC+BC+AB），
∴10$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$r（5+6+9），
解得：r=$\sqrt{2}$，
故△ABC的內(nèi)切圓半徑r=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、二次根式的應(yīng)用，熟練掌握三角形的面積與內(nèi)切圓半徑間的公式是解題的關(guān)鍵．