如圖所示,△ABC的外接圓圓心O在AB上,點D是BC延長線上一點,DM⊥AB于M,交AC于N,且AC=CD.CP是△CDN的邊ND上的中線.
(1)求證:AB=DN;
(2)試判斷CP與⊙O的位置關系,并證明你的結論.
分析:(1)根據(jù)圓周角定理得到∴∠ACB=90°,則∠NCD=90°,而DM⊥AB,根據(jù)等角的余角相等得到∠A=∠D,然后根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DNC,則AB=DN;
(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得PC=PN=
1
2
DN
,則∠PCN=∠PNC,所以∠ANM=∠PCN,而∠A=∠ACO,于是得到∠ACO+∠PCN=90°,
即∠PCO=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到CP是⊙O的切線.
解答:(1)證明:∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,則∠NCD=90°,
∵DM⊥AB,
∴∠AMN=90°,
∴∠ABC+∠A=∠ABC+∠D=90°,
∴∠A=∠D,
在△ABC和△DNC中
∠A=∠D
AC=CD
∠ACB=∠NCD
,
∴△ABC≌△DNC(ASA),
∴AB=DN;
(2)CP是⊙O的切線.理由如下:
連結OC,如圖,
∵CP是△CDN的邊ND上的中線,∠NCD=90°,
∴PC=PN=
1
2
DN

∴∠PCN=∠PNC,
∵∠ANM=∠PNC,
∴∠ANM=∠PCN,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∵∠A+∠ANM=90°,
∴∠ACO+∠PCN=90°,
∴∠PCO=90°,
∴OC⊥PC
∴CP是⊙O的切線.
點評:本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.也考查來了三角形全等的判定與性質.
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