【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△AOB是等邊三角形,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),點(diǎn)B在第一象限,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使邊AO與AB重合,得到△ABD.

(1)求B的坐標(biāo);

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(t,0)時(shí),試用含t的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)是否存在點(diǎn)P,使△OPD的面積等于,若存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)

【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2).(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,2+t).(3)存在. 點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1,0),P2(-,0),P3(-,0),P4,0).

【解析】

試題分析:(1)過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E,作BF⊥x軸于點(diǎn)F.依題意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo).設(shè)直線(xiàn)AB的解析式是y=kx+b,把已知坐標(biāo)代入可求解.

(2)由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到,△ABD≌△AOP,AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等邊三角形,利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函數(shù)求出BG=BDcos60°,DG=BDsin60°.然后求出OH,DH,然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

(3)分三種情況進(jìn)行討論:

①當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí),即t>0時(shí);

②當(dāng)P在x軸負(fù)半軸,但D在x軸上方時(shí);即-<t≤0時(shí)

③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸,D在x軸下方時(shí),即t≤-時(shí).

綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值.

試題解析:(1)如圖1,

過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E,作BF⊥x軸于點(diǎn)F.

由已知得:BF=OE=2,

∴OF=,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2).

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式是y=kx+b(k≠0),

則有,

∴直線(xiàn)AB的解析式是y=-x+4,

(2)∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到,

∴△ABD≌△AOP.

∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.

∴∠DAP=∠BAO=60°.

∴△ADP是等邊三角形.

如圖2,

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H,延長(zhǎng)EB交DH于點(diǎn)G,則BG⊥DH.

在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,

∴BG=BDcos60°=.DG=BDsin60°=t.

∴OH=EG=,DH=2+t.

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,2+t).

(3)存在.

假設(shè)存在點(diǎn)P,在它的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,使△OPD的面積等于

設(shè)點(diǎn)P為(t,0),下面分三種情況討論:

①當(dāng)t>0時(shí),如答圖2,BD=OP=t,DG=t,

∴DH=2+t.

∵△OPD的面積等于,

t(2+t)=

∴t1=,t2=舍去).

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(,0).

②∵當(dāng)D在x軸上時(shí),如圖3,

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=,

∴當(dāng)-<t≤0時(shí),如答圖1,BD=OP=-t,DG=-t,

∴GH=BF=2-(-t)=2+t.

∵△OPD的面積等于

∴-t(2-t)=,

∴t1=-,t2=-

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-,0),點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(-,0).

③當(dāng)t≤-時(shí),BD=OP=-t,DG=-t,

∴DH=-t-2.

∵△OPD的面積等于,

(-t)(-2-t)=

∴t1=,t2=(舍去).

∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(,0).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1,0),P2(-,0),P3(-,0),P4,0).

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