Question

如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字從最高位到個位依次排出一串?dāng)?shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”.例如：自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一串?dāng)?shù)字是：6、4、7、4、6，從個位到最高排出的一串?dāng)?shù)字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和諧數(shù)”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”.

(1)請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個四位“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由；

(2) 已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個位上的數(shù)字為x(，x為自然數(shù))，十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

解：⑴四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）

  任意一個四位“和諧數(shù)”都能被11整數(shù)，理由如下：

設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為：，則滿足：

最高位到個位排列：

個位到最高位排列：

由題意，可得兩組數(shù)據(jù)相同，則：

則

∴ 四位“和諧數(shù)”能被11整數(shù)

又∵為任意自然數(shù)，

∴任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除

⑵設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：，則滿足：

個位到最高位排列：

最高位到個位排列：

由題意，兩組數(shù)據(jù)相同，則：

故

為正整數(shù)

∴