Question

18．如圖，直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2.5，0）．
（1）求k的值；
（2）若點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置（求點(diǎn)P的坐標(biāo)）時(shí)，△OPA的面積為5，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求出k的值；（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段，能夠發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)到x軸的距離為P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線方程用x表示出來(lái)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再套用三角形面積公式即可得出結(jié)論，再由點(diǎn)P在第二象限，即可確定x的取值范圍；（3）分兩種情況，一種P點(diǎn)在x軸上方，一種在x軸下方，分類討論即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E（-3，0）在直線y=kx+6的圖象上，
∴有0=-3k+6，解得：k=2．
故k的值為2．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，如圖1．

∵點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)介于E、F的橫坐標(biāo)之間，
∴-3＜x＜0．
∵點(diǎn)P在直線y=2x+6上，
∴y=2x+6．
∵PB⊥x軸，且P點(diǎn)在第二象限，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2.5，0），
∴PB=y=2x+6，OA=2.5．
∴△OPA的面積S=$\frac{1}{2}$OA•PB=2.5x+7.5．
故△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=2.5x+7.5（-3＜x＜0）．
（3）∵令（2）中的關(guān)系式中x=0，解得S=7.5＞5，
∴若點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，必在第二象限，點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，必在第三象限．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，有△OPA的面積S=2.5x+7.5，
令S=5，即2.5x+7.5，解得：x=-1．
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖2，

此時(shí)PB=-y=-2x-6，
△OPA的面積S=$\frac{1}{2}$OA•PB=$\frac{1}{2}$×2.5×（-2x-6）=-2.5x-7.5=5，
解得：x=-5．
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，-4）．
綜上可知：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（-1，4）或（-5，-4）時(shí)，△OPA的面積為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用中的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離、三角形的面積公式以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：會(huì)利用點(diǎn)在直線上求直線的解析式；能用三角形的面積公式來(lái)求取面積．本題屬于較簡(jiǎn)單的題型，難點(diǎn)在于（3）中P點(diǎn)分x軸上下兩側(cè)，即點(diǎn)P存在兩個(gè)，部分同學(xué)會(huì)忘記直線下方還存在符合條件的點(diǎn)P．