Question

8．如圖，已知直線AB∥CD，M、N分別是直線AB和CD上的點．
（1）在圖1中，判斷∠BME、∠MEN和∠DNE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）在圖2中，請直接寫出∠BME、∠MEN和∠DNE之間的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）
（3）在圖3中，MB平分∠EMF，NE平分∠DNF，且∠F與2∠E互補，求∠FME的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）過點E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BME=∠1，∠END=∠2，然后相加即可得解；
（2）先根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠3=∠END，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解；
（3）設(shè)∠END=x°，∠BME=y°，根據(jù)（1）的結(jié)論可得x+y=∠E，根據(jù)（2）的結(jié)論可得2x+∠F=y，再根據(jù)2∠E+∠F=180°，求出y即可．

解答 解：（1）如圖1，過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠BME=∠1，∠END=∠2，
∴∠1+∠2=∠BME+∠END，
即∠MEN=∠BME+∠END，
（2）如圖2，

∵AB∥CD，
∴∠3=∠END，
∴∠BME=∠3+∠MEN=∠MEN+∠END，
即∠BME=∠MEN+∠END；
（3）

如圖3，∵MB平分∠EMF，NE平分∠DNF，
∴∠BMF=∠BME=$\frac{1}{2}$∠EMF，∠DNE=∠FNE=$\frac{1}{2}$∠DNF，
設(shè)∠END=x°，∠BME=y°，
由（1）的結(jié)論可得∠E=x+y，
由（2）的結(jié)論可得：2x+∠F=y，即∠F=-2x+y，
∵∠F+2∠E=180°，
∴-2x+y+2（x+y）=180，
解得：y=60，
∴∠EMF=2y=120°．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)、角平分線的定義，過拐點作平行線是解題的關(guān)鍵，準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系也很重要．