【題目】如圖,已知AT切圓O于點(diǎn)T,點(diǎn)B在圓O上,且,連接AB并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)C,圓O的半徑為2,若AT的長(zhǎng)恰好為2.
(1)求證:△BOC是等腰直角三角形;
(2)求AC的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)連接BT可證△BOT為等邊三角形,得BT=2,∠OTB=∠OBT=60°,進(jìn)而得出△ABT是頂角為30°的等腰三角形,得出∠TBA=75°,根據(jù)平角定義得出∠CBO=45°,從而得到結(jié)論;
(2)先根據(jù)△OBC是等腰直角三角形求出BC,再證明△ABT∽△ATC,求出AB的長(zhǎng),從而可得出AC的長(zhǎng).
(1)連接BT,
∵∠BOT=60°,OB=OT,
∴△BOT是等邊三角形,
∴∠OTB=∠OBT=60°,BT=OB=2,
∵AT是⊙O的切線,
∴∠OTA=90°
∴∠BTA=30°
∵AT=2,
∴AT=BT,
∴∠TBA=
∵∠ABT+∠TBO+∠OBC=180°,
∴∠OBC=180°-∠ABT-∠TBO=180°-75°-60°=45°,
∵OB=OC
∴∠OCB=∠OBC=45°,即∠BOC=90°
∴△BOC是等腰直角三角形;
(2)∵△BOC是等腰直角三角形,OB=OC=2,
∴BC=
連接CT,則∠ACT=∠BOT,
由(1)可知,∠ATB=∠BOT,
∴∠ATB=∠ACT
又∠A=∠A
∴△ATB∽△ACT
∴,即
把AT=2,BC=代入,得,
解得,,(不合題意,舍去)
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓O是的外接圓,AE平分交圓O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)E作直線.
(1)判斷直線l與圓O的關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:;
(3)在(2)的條件下,若,,求AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)求證:無(wú)論取何實(shí)數(shù),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程的一個(gè)根是3,求的值及方程的另一個(gè)根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取”主題班會(huì)活動(dòng),活動(dòng)后,就活動(dòng)的個(gè)主題進(jìn)行了抽樣調(diào)查(每位同學(xué)只選最關(guān)注的一個(gè)),根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這次調(diào)查的學(xué)生共有多少名?
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,并在扇形統(tǒng)計(jì)圖中計(jì)算出“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù).
(3)如果要在這個(gè)主題中任選兩個(gè)進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)(2)中調(diào)查結(jié)果,用樹狀圖或列表法,求恰好選到學(xué)生關(guān)注最多的兩個(gè)主題的概率(將互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取依次記為A、B、C、D、E).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD的面積是60,AE=AB,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),AF分別與DE ,BD 交于點(diǎn)G,H,則四邊形BHGE的面積( )
A.B.C.6D.10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校開展“我最喜歡的一項(xiàng)體育社團(tuán)活動(dòng)”調(diào)查,若每名學(xué)生必選且只能選一項(xiàng),現(xiàn)隨機(jī)抽查了名學(xué)生,并將其結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)求的值;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)求“乒乓球”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(4)已知該校共有2400名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校學(xué)生最喜歡籃球社團(tuán)活動(dòng)的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于氣溫,有的地方用攝氏溫度表示,有的地方用華氏溫度表示,攝氏溫度與華氏溫度之間是一次函數(shù)關(guān)系.如圖所示是一個(gè)家用溫度表的表盤、其左邊為攝氏溫度的刻度和讀數(shù)(單位),右邊為華氏溫度的刻度和讀數(shù)(單位).從溫度計(jì)的刻度上可以看出,攝氏溫度與華氏溫度部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:
··· | ··· | |||
··· | ··· |
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)攝氏溫度為零下時(shí),求華氏溫度為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,直徑AC與弦BD的交點(diǎn)為E,OB∥CD,BH⊥AC,垂足為H,且∠BFA=∠DBC.
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)若BH=3,求AD的長(zhǎng)度;
(3)若sin∠DAC=,求△OBH的面積與四邊形OBCD的面積之比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將拋物線向右平移個(gè)單位,再向上平移個(gè)單位,得到拋物線,直線與的一個(gè)交點(diǎn)記為,與的一個(gè)交點(diǎn)記為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,點(diǎn)在第一象限內(nèi).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,在的右側(cè)作正方形.
①當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí),直線恰好經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn),求此時(shí)的值;
②在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,若直線與正方形始終沒(méi)有公共點(diǎn),直接寫出的取值范圍.
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