Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn)，與y軸相交于（0， ），點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式．
（2）點(diǎn)F為線段AC上一動點(diǎn)，過F作FE⊥x軸，F(xiàn)G⊥y軸，垂足分別為E、G，當(dāng)四邊形OEFG為正方形時(shí)，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)平移的距離為t，正方形的邊EF與AC交于點(diǎn)M，DG所在的直線與AC交于點(diǎn)N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，

∴拋物線的對稱軸為y軸，

∴拋物線的頂點(diǎn)為（0， ），

故拋物線的解析式可設(shè)為y=ax2+ ．

∵A（﹣1，2）在拋物線y=ax2+ 上，

∴a+ =2，

解得a=﹣ ，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=﹣ x2+

（2）

解：①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，如圖1，

令y=0得，﹣ x2+ =0，

解得：x1=3，x2=﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

則有 ，

解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+ ．

設(shè)正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p）．

∵點(diǎn)F（p，p）在直線y=﹣ x+ 上，

∴﹣ p+ =p，

解得p=1，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）．

②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，

同理可得：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，3），

此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去．

綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）

（3）

解：過點(diǎn)M作MH⊥DN于H，如圖2，

則OD=t，OE=t+1．

∵點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動，∴0≤t≤2．

當(dāng)x=t時(shí)，y=﹣ t+ ，則N（t，﹣ t+ ），DN=﹣ t+ ．

當(dāng)x=t+1時(shí)，y=﹣ （t+1）+ =﹣ t+1，則M（t+1，﹣ t+1），ME=﹣ t+1．

在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣ t+1）2= t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣ t+ ）﹣（﹣ t+1）= ，

∴MN2=12+（ ）2= ．

①當(dāng)DN=DM時(shí)，

（﹣ t+ ）2= t2﹣t+2，

解得t= ；

②當(dāng)ND=NM時(shí)，

﹣ t+ = = ，

解得t=3﹣ ；

③當(dāng)MN=MD時(shí)，

= t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3．

∵0≤t≤2，∴t=1．

綜上所述：當(dāng)△DMN是等腰三角形時(shí)，t的值為 ，3﹣ 或1．

【解析】（1）易得拋物線的頂點(diǎn)為（0， ），然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法，就可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；（2）①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，如圖1，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，直線AC的解析式，設(shè)正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p），代入直線AC的解析式，就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，同理可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去；（3）過點(diǎn)M作MH⊥DN于H，如圖2，由題可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2 ， 分三種情況（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）討論就可解決問題．本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、直線及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線的性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（2）、（3）小題的關(guān)鍵，在解決問題的過程中要驗(yàn)證是否符合題意．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．