Question

14．閱讀材料：“最值問題”是數(shù)學(xué)中的一類較具挑戰(zhàn)性的問題．其實(shí)，數(shù)學(xué)史上也有不少相關(guān)的故事，如下即為其中較為經(jīng)典的一則：海倫是古希臘精通數(shù)學(xué)、物理的學(xué)者，相傳有位將軍曾向他請(qǐng)教一個(gè)問題--如圖1，從A點(diǎn)出發(fā)，到筆直的河岸l去飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？海倫輕松地給出了答案：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B 的值最�。�

解答問題：
（1）如圖2，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線BD上有一點(diǎn)P，使PC+PE的和最小，則這個(gè)最小值為4．
（2）如圖3：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為$\sqrt{3}$．
（3）如圖4，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠DAB=60°．將此菱形放置于平面直角坐標(biāo)系中，各頂點(diǎn)恰好在坐標(biāo)軸上．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度，沿A→C的方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)C后，立即以相同的速度返回，返回途中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到x軸上某一點(diǎn)M時(shí)，立即以每秒1個(gè)單位的速度，沿M→B的方向，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)B時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止．為使點(diǎn)P能在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是什么？

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)判斷出PC+PE的最小值的位置，然后經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，即可；
（2）利用菱形的性質(zhì)判斷出PB+PE的最小值的位置，然后經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，即可；
（3）利用點(diǎn)到直線的距離中，垂線段最短，然后進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1，

根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，
點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴PC+PE的和最小值為AE，
∵正方形ABCD的面積為16，
∴AB=4，
∵△ABE是等邊三角形，
∴AE=4，
∴PC+PE的和最小值為4；
故答案為4；
（2）如圖2

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，
點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴DE為PB+PE的最小值，
∵∠B=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵E是AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB，
∵AB=2，∴AE=$\sqrt{3}$，
∴PB+PE的最小值是$\sqrt{3}$；
故答案為$\sqrt{3}$
（3）使點(diǎn)P能在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B處，
∴當(dāng)PB⊥AB時(shí)，符合題意，
∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=30°，又AB=6，
∴BM=2$\sqrt{3}$，
∵∠OBM=30°，BM=2$\sqrt{3}$，
∴OM=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查軸對(duì)稱和最短路線問題，涉及到菱形，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是確定出最短路線的位置．