【題目】如圖①,已知線段AC∥y軸,點(diǎn)B在第一象限,且AO平分∠BAC,AB交y軸于G,連接OB,OC.
(1)判斷△AOG的形狀,并予以證明;
(2)若點(diǎn)B,C關(guān)于y軸對(duì)稱,求證:AO⊥BO;
(3)在(2)的條件下,如圖②,點(diǎn)M為OA上一點(diǎn),且∠ACM=45°,BM交y軸于P,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)△AOG是等腰三角形;(2)見(jiàn)解析;(3)M(-1,3).
【解析】
(1)、利用已知條件可證明∠GOA=∠GAO,由等腰三角形的判定可得AG=OG,所以△AOG是等腰三角形;(2)、由已知可得BP=CP,因?yàn)?/span>AC∥y軸,可得GA=GB;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠GOB=∠GBO,∠AOG=∠OAG,所以∠AOG+∠BOG=∠OAG+∠OBG,即∠AOB=∠OAG+∠OBG,即可求得∠AOB=90°;(2)、先證得BM是∠ABC的平分線,設(shè)∠OBC=x,則x+∠POB=90°,而∠POA+∠POB=∠AOB=90°,求得x=∠POA,進(jìn)一步證得x=∠GAM.根據(jù)∠OMB=∠GAM+∠ABM=x+∠ABM=x+∠PBM=∠MBO,得出OB=OM,然后證明出△OMF和△BOH全等,根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)得出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(1)解:△AOG的形狀是等腰三角形
證明如下:∵AC∥y軸,∴∠CAO=∠GOA, ∵AO平分∠BAC,∴∠CAO=∠GAO,
∴∠GOA=∠GAO,∴AG=OG,∴△AOG是等腰三角形.
(2)證明:如圖①,連接BC,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D.
∵B,C關(guān)于y軸對(duì)稱,AC∥y軸,∴OB=OC,AC⊥BC,∴點(diǎn)A,C,D在同一條直線上.
∵AO為∠CAB的平分線,∴OD=OE.
在Rt△COD和Rt△BOE中,OD=OE,OC=OB,∴△COD≌△BOE(HL),∴∠DCO=∠EBO.
∵∠DCO+∠ACO=180°,∴在四邊形ACOB中,∠ACO+∠EBO=180°,
∴∠BAC+∠BOC=180°, 設(shè)∠BAO=∠CAO=x,∠OBC=∠OCB=y,
∴2x+∠BOC=180°,2y+∠BOC=180°,∴x=y, ∴∠OAC=∠OBC,
∴∠AOB=∠ACB=90°,∴AO⊥OB.
(3)解:如圖②,連接BC,過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于F,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H,
由(2)可知∠ACB=90°, ∵∠ACM=45°,∴CM平分∠ACB,
又∵AM平分∠BAC,∴BM平分∠ABC.設(shè)∠ABM=∠CBM=z,
由(2)可得∠OMB=x+z,∠OBM=y+z=x+z,∴∠OMB=∠OBM,∴OM=OB,
∴△OBM為等腰直角三角形. ∵∠BOH+∠MOF=90°,∠MOF+∠FMO=90°,
∴∠FMO=∠BOH,
在△OMF和△BOH中,∠MFO=∠OHB=90°,∠FMO=∠HOB,OM=OB,∴△OMF≌△BOH(AAS).
又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),∴OF=BH=1,MF=OH=3,∴M(-1,3).
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⑴張明他們一共去了幾個(gè)成人,幾個(gè)學(xué)生?
⑵請(qǐng)你幫助張明算一算,用哪種方式購(gòu)票(團(tuán)體購(gòu)票還是非團(tuán)體購(gòu)票)更省錢?說(shuō)明理由.
⑶正要購(gòu)票時(shí),張明發(fā)現(xiàn)七(3)班的張小毛等15名同學(xué)和他們的2名家長(zhǎng)共17人也來(lái)購(gòu)票,請(qǐng)你為他們?cè)O(shè)計(jì)出最省的購(gòu)票方案,并求出此時(shí)的購(gòu)票費(fèi)用.
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