【題目】如圖,直線yx4x軸、y軸分別交于A、B兩點,拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A、B兩點,與x軸的另一個交點為C,連接BC

1)求拋物線的解析式及點C的坐標;

2)點M在拋物線上,連接MB,當∠MBA+CBO45°時,求點M的坐標;

3)點P從點C出發(fā),沿線段CACA運動,同時點Q從點B出發(fā),沿線段BCBC運動,P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度,當Q點到達C點時,P、Q同時停止運動,試問在坐標平面內(nèi)是否存在點D,使P、Q運動過程中的某一時刻,以CD、P、Q為頂點的四邊形為菱形?若存在,直接寫出點D的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】1yx2x4,C(﹣3,0);(2)滿足條件的點M的坐標為(,﹣)或(5,);(3)存在滿足條件的點D,點D坐標為(﹣,﹣)或(1,﹣2)或(﹣).

【解析】

第一問求解析式主要利用待定系數(shù)求解,利用一次函數(shù)yx4,求解出A點坐標和B點坐標,然后代入方程即可,

第二問求解M點的坐標,需要討論,因為MBA+CBO45°是動態(tài)的,故當BMBC時是一種情況,利用tanM1BEtanBCO,可以給出等式關(guān)系,求出M點,BMBC關(guān)于y軸對稱時是第二種情況,tanM2BEtanCBO,可以出給等式關(guān)系,求出M點

第三問,需要討論,因為四個點,知曉其中三個點,可以這樣討論,當CP為菱形的邊,CQ為對角線這是第一種情況,利用解直角三角形求出Q點的縱坐標,就知道D點的縱坐標,然后利用cosBCO,建立等式即可求出菱形的邊長,利用菱形邊長和Q點橫坐標,即可得到Q點橫坐標,當CQCP均為菱形的邊這是第二種情況,因為CP=CQ=BQ,所以Q點在BC的中,即菱形的邊長出來了,利用解直角三角形即可給出Q點的縱坐標,知道菱形的邊長,所以D點的橫縱坐標都出來了,當CQ為菱形的邊,CP為菱形的對角線這是第三種情況,利用解直角三角形,可以給出Q點坐標,我們可以知道D點和Q點關(guān)于x軸對稱,有菱形的基本性質(zhì)可以知道,所以D點坐標出來了

1)直線解析式yx4

x0,得y=﹣4

y0,得x4

A40)、B0,﹣4).

∵點A、B在拋物線yx2+bx+c上,

,

解得 ,

∴拋物線解析式為:yx2x4

yx2x40,

解得:x=﹣3x4

C(﹣3,0).

2)∠MBA+CBO45°,

Mx,y),

BMBC時,如答圖21所示.

∵∠ABO45°,

∴∠MBA+CBO45°,故點M滿足條件.

過點M1M1Ey軸于點E,則M1Ex,OE=﹣y,

BE4+y

tanM1BEtanBCO,

,

∴直線BM1的解析式為:yx4

聯(lián)立yx4yx2x4,

得:x4x2x4,

解得:x10,x2 ,

y1=﹣4y2=﹣ ,

M1,﹣);

BMBC關(guān)于y軸對稱時,如答圖22所示.

∵∠ABO=∠MBA+MBO45°,∠MBO=∠CBO,

∴∠MBA+CBO45°,

故點M滿足條件.

過點M2M2Ey軸于點E

M2Ex,OEy

BE4+y

tanM2BEtanCBO,

,

∴直線BM2的解析式為:yx4

聯(lián)立yx4yx2x4得:x4x2x4,

解得:x10,x25,

y1=﹣4,y2,

M25,).

綜上所述,滿足條件的點M的坐標為:(,﹣ )或(5,).

3)設∠BCOθ,則tanθ sinθ,cosθ

假設存在滿足條件的點D,設菱形的對角線交于點E,設運動時間為t

若以CQ為菱形對角線,如答圖31.此時BQt,菱形邊長=t

CECQ5t).

RtPCE中,cosθ ,

解得t

CQ5t

過點QQFx軸于點F,

QFCQsinθCFCQcosθ,

OF3CF

Q(﹣,﹣).

∵點D1與點Q橫坐標相差t個單位,

D1(﹣,﹣);

若以PQ為菱形對角線,如答圖32.此時BQt,菱形邊長=t

BQCQt,

t ,點QBC中點,

Q(﹣ ,﹣2).

∵點D2與點Q橫坐標相差t個單位,

D21,﹣2);

若以CP為菱形對角線,如答圖33.此時BQt,菱形邊長=5t

RtCEQ中,cosθ ,

解得t

OE3CE3t ,D3EQECQsinθ=(5 )×

D3(﹣).

綜上所述,存在滿足條件的點D,點D坐標為:(﹣,﹣)或(1,﹣2)或(﹣,).

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