Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（-l，0）為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點(diǎn)A、B、C、D，直線y=-x-與⊙M相切于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F．
（1）求⊙M的半徑；

（2）如圖，弦HQ交x軸于點(diǎn)P，且PD：PH=4：，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖，點(diǎn)K為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)（不與E、C重合），連接BK交⊙M于點(diǎn)G，連接AG．過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸交BK于N．是否存在這樣的點(diǎn)K，使得AG=MK？若存在，請(qǐng)求出GN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由直線y=-x-可知，E（-5，0）、F（0，-）
∴OE=5，OF=，
∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0），
∴EM=OE-OM=5-1=4，
∴EF===2OF，
∴∠OEF=30°，
∴HM=EM=×4=2，
即⊙M的半徑為2；

（2）作HT⊥OC于T，連接CH、MH，由（1）知△CMH為正三角形，
∴CT=1，TH=．設(shè)PD=4x，PH=x．
∵TH²+TP²=PH²，
∴3+（3-4x）²=7x²，
∴x₁=2（舍），x₂=；
∴PM=PD-MD=4×-2=；
又∵M(jìn)（-1，0），
∴P的橫坐標(biāo)為-1-=-，
故P（-，0）．

（3）假設(shè)存在，則有AG=MK．作直徑AR交BK于S，連接GR．
則△AGR≌△KMN，
∴GR=MN．則△GRS≌△MNS，于是GN=MR=2．
分析：（1）由于⊙O與直線相切，H為切點(diǎn)，所以∠EHM=90°，根據(jù)直線y=-x-的解析式分別令x=0，y=0求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出OE、OF的長(zhǎng)，由M點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出OM的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出E、F的長(zhǎng)，由直角三角形的性質(zhì)可判斷出∠OEF的度數(shù)，根據(jù)EM的長(zhǎng)即可求出MH的長(zhǎng)；
（2）作HT⊥OC于T，構(gòu)造直角三角形THP，結(jié)合△CMH為正三角形，利用勾股定理建立一元二次方程進(jìn)行解答．
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)K，根據(jù)其存在，若能求出GN的值，則證明假設(shè)成立，否則證明不存在這樣的點(diǎn)K．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及勾股定理等內(nèi)容，將直線與圓結(jié)合，利用直線與坐標(biāo)系構(gòu)成的三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．