Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，該拋物線的頂點為M．

（1）求該拋物線的解析式及點M的坐標；

（2）判斷△BCM的形狀，并說明理由；

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）△BCM為直角三角形；（3）符合條件的點有三個：O（0，0），P1（0，），P2（9，0）．

【解析】

試題分析：（1）已知拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；

（2）根據(jù)B、C、M的坐標，可求得△BCM三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可；

（3）假設(shè)存在符合條件的P點；首先連接AC，根據(jù)A、C的坐標及（2）題所得△BDC三邊的比例關(guān)系，即可判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點P的坐標．

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴，

解得：，

則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）△BCM為直角三角形，理由為：

對于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即頂點M坐標為（1，﹣4），

令x=0，得到y(tǒng)=﹣3，即C（0，﹣3），

根據(jù)勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，

∵BM2=BC2+CM2，

∴△BCM為直角三角形；

（3）若∠APC=90°，即P點和O點重合，如圖1，

連接AC，

∵∠AOC=∠MCB=90°，且=，

∴Rt△AOC∽Rt△MCB，

∴此時P點坐標為（0，0）．

若P點在y軸上，則∠PAC=90°，如圖2，過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，

∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM，

∴=，

即=，

∴點P1（0，）．

若P點在x軸上，則∠PCA=90°，如圖3，過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，

∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，

∴=，

即=，AP2=10，

∴點P2（9，0）．

∴符合條件的點有三個：O（0，0），P1（0，），P2（9，0）．