【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,該拋物線的頂點(diǎn)為M.

(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)判斷BCM的形狀,并說明理由;

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與BCM相似?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)BCM為直角三角形;(3)符合條件的點(diǎn)有三個(gè):O(0,0),P1(0,),P2(9,0).

【解析】

試題分析:(1)已知拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;

(2)根據(jù)B、C、M的坐標(biāo),可求得BCM三邊的長(zhǎng),然后判斷這三條邊的長(zhǎng)是否符合勾股定理即可;

(3)假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn);首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標(biāo)及(2)題所得BDC三邊的比例關(guān)系,即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求,因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與COA相似,那么分別過A、C作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得OP的長(zhǎng),也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),

,

解得:

則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;

(2)BCM為直角三角形,理由為:

對(duì)于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,﹣4),

令x=0,得到y(tǒng)=﹣3,即C(0,﹣3),

根據(jù)勾股定理得:BC=3,BM=2,CM=,

BM2=BC2+CM2,

∴△BCM為直角三角形;

(3)若APC=90°,即P點(diǎn)和O點(diǎn)重合,如圖1,

連接AC,

∵∠AOC=MCB=90°,且=

RtAOCRtMCB,

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).

若P點(diǎn)在y軸上,則PAC=90°,如圖2,過A作AP1AC交y軸正半軸于P1,

RtCAP1RtCOARtBCM,

=,

=,

點(diǎn)P1(0,).

若P點(diǎn)在x軸上,則PCA=90°,如圖3,過C作CP2AC交x軸正半軸于P2,

RtP2CARtCOARtBCM,

=,

=,AP2=10,

點(diǎn)P2(9,0).

符合條件的點(diǎn)有三個(gè):O(0,0),P1(0,),P2(9,0).

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2GFGC。

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