Question

如圖，已知∠AOB=45°，A₁是OA上的一點(diǎn)，OA₁=1，過A₁作OA的垂線交OB于點(diǎn)B₁，過點(diǎn)B₁作OB的垂線交OA于點(diǎn)A₂；過A₂作OA的垂線交OB于點(diǎn)B₂…如此繼續(xù)，依次記△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…的面積為S₁，S₂，S₃…，則S₂₀₁₁=

2⁴⁰¹⁹

．

Answer 1

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)易知后面一個三角形的面積是前面一個三角形面積的4倍．

解答：解：∵∠AOB=45°，OA₁=1，A₁B₁⊥OB，A₂B₁⊥OB，A₂B₂⊥OA，A₃B₂⊥OA，
∴S₁=2^2×1-3=

1

2

；
S₂=2^2×2-3=2；
S₃=2^2×3-3=8
…
S_n=2^2n-3．
∴S₂₀₁₁=2^2×2011-3=2⁴⁰¹⁹．
故答案是：2⁴⁰¹⁹．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形、三角形的面積．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到后面三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．