【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為原點,平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上,D點在y軸上,C點坐標為(2,0),BC=6,∠BCD=60°,點E是AB上一點,AE=3EB,⊙P過D,O,C三點,拋物線y=ax2+bx+c過點D,B,C三點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求證:ED是⊙P的切線;

(3)若點M為此拋物線的頂點,平面上是否存在點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2x+2(2)證明見解析(3)點N的坐標為(﹣5,)、(3,)、(﹣3,﹣

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意求得B的坐標,解直角三角形求得D的坐標,然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求得AB=4,根據(jù)AE=3EB求得AE=3,易證得△AED∽△COD,得出∠ADE=∠CDO,由∠ADE+∠ODE=90°得出∠CDO+∠ODE=90,即可證得結(jié)論;

(3)把拋物線解析式化成頂點式,求得頂點M的坐標,然后結(jié)合B、D的坐標即可求得.

試題解析:(1)∵C(2,0),BC=6,

∴B(﹣4,0),

在Rt△OCD中,∵tan∠OCD=,

∴OD=2tan60°=2

∴D(0,2),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣2),

把D(0,2)代入得a4(﹣2)=2,解得a=﹣,

∴拋物線的解析式為y=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣x2x+2;

(2)在Rt△OCD中,CD=2OC=4,

∵四邊形ABCD為平行四邊形,

∴AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,

∵AE=3BE,

∴AE=3,

∵sin∠BCD=,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠DAE=∠DCB=60°,

∴△AED∽△COD,

∴∠ADE=∠CDO,

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°,

∴CD⊥DE,

∵∠DOC=90°,

∴CD為⊙P的直徑,

∴ED是⊙P的切線;

(3)存在.

∵y=﹣x2x+2=﹣(x+1)2+

∴M(﹣1,),

而B(﹣4,0),D(0,2),如圖2,

當BM為平行四邊形BDMN的對角線時,點D向左平移4個單位,再向下平移2個單位得到點B,

則點M(﹣1,)向左平移4個單位,再向下平移2個單位得到點N1(﹣5,);

當DM為平行四邊形BDMN的對角線時,點B向右平移3個單位,

再向上平移個單位得到點M,則點D(0,2)向右平移3個單位,再向上平移個單位得到點N2(3,);

當BD為平行四邊形BDMN的對角線時,點M向左平移3個單位,

再向下平移個單位得到點B,則點D(0,2)向右平移3個單位,再向下平移個單位得到點N3(﹣3,﹣).

綜上所述,點N的坐標為(﹣5,)、(3, )、(﹣3,﹣).

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B.①③④⑤
C.①②③④⑤
D.①⑤

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