分析 (1)根據(jù)正方形的性質(zhì),可得D點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得k的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案;
(2)根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得∠1=∠2,根據(jù)余角的性質(zhì),可得∠2+∠3=90°,根據(jù)垂線的定義,可得答案;
(3)根據(jù)待定系數(shù)法,可得CG、OD的解析式,根據(jù)解方程組,可得F點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得G點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)三角形的面積公式,可得答案;
(4)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,根據(jù)三角形的面積公式,可得F點(diǎn),根據(jù)函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可得P點(diǎn).
解答 (1)解:由已知,得四邊形ABCD是正方形,
∴D為AC的中點(diǎn),
∴點(diǎn)D(-2,4),
∴k=xy=-2×4=-8,當(dāng)x=-4時(shí),y=-$\frac{8}{x}$=2,點(diǎn)E(-4,2);
(2)證明:如圖,
,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OC=AC,∠A=∠DOC=90°,
∵A為(-4,4),E(-4,2),
∴E為AB的中點(diǎn).
∵D為AC的中點(diǎn),
∴CD=AE,
∴Rt△EAC≌R△DCO,
∴∠1=∠2,
∵∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴CG⊥OD;
(3)解:設(shè)直線OD為y=k1x,得-2k1=4,即k1=-2,y=-2x;
設(shè)直線CG的解析式為y=k2x+4,得-4k2+4=2,即k2=$\frac{1}{2}$,
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$,即F點(diǎn)坐標(biāo)為(-$\frac{8}{5}$,$\frac{16}{5}$),
當(dāng)y=0時(shí),$\frac{1}{2}$x+4=0,即x=-8,即G點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,0)
∴S△OFG=$\frac{1}{2}$OG•yF$\frac{1}{2}$×8×$\frac{16}{5}$=$\frac{64}{5}$;
(4)解:設(shè)過點(diǎn)G(-8,0)、B(-4,0)、F(-$\frac{8}{5}$,$\frac{16}{5}$)的拋物線為y=ax2+bx+c(a≠0),
得$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{\frac{64}{25}a-\frac{8}{5}b+c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{24}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$,
則y=$\frac{5}{24}$x2+$\frac{5}{2}$x+$\frac{20}{3}$
當(dāng)$\frac{2a}$=-6時(shí),y最小=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-$\frac{5}{6}$,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,-$\frac{5}{6}$).
∴S△BGP=$\frac{1}{2}$•BG•yF=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{16}{5}$=$\frac{32}{5}$.
∴點(diǎn)F是滿足條件的一點(diǎn),△BGP的高是$\frac{16}{5}$,
∴在x軸上方的拋物線上還存在一個(gè)點(diǎn)與F關(guān)于直線x=-6對(duì)稱的點(diǎn)P(-$\frac{52}{5}$,$\frac{16}{5}$).
∵$\frac{5}{6}$<$\frac{16}{5}$,
∴在x軸下方的拋物線上不存在滿足條件的點(diǎn).
故存在兩個(gè)點(diǎn):P1(-$\frac{8}{5}$,$\frac{16}{5}$),P(-$\frac{52}{5}$,$\frac{16}{5}$).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠1=∠2是解題關(guān)鍵;利用解方程組得出G點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵;利用函數(shù)的對(duì)稱性得出P與F點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
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A. | x>1 | B. | x<1 | C. | x>0 | D. | x<0 |
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A. | 1+$\sqrt{2}$ | B. | 2+$\sqrt{2}$ | C. | 2$\sqrt{2}$-1 | D. | 2$\sqrt{2}$+1 |
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