5.如圖,已知點(diǎn)A為(-4,4),AB⊥x軸于點(diǎn)B,AC⊥y軸于點(diǎn)C,反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$(k<0)的圖象交AC的中點(diǎn)于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,連OD、CE交于點(diǎn)F,CE的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)G.
(1)求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)求證:CG⊥OD;
(3)求△OFG的面積;
(4)求經(jīng)過G、B、F三點(diǎn)的拋物線的解析式,在此拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S△BGP=$\frac{32}{5}$?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)根據(jù)正方形的性質(zhì),可得D點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得k的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案;
(2)根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得∠1=∠2,根據(jù)余角的性質(zhì),可得∠2+∠3=90°,根據(jù)垂線的定義,可得答案;
(3)根據(jù)待定系數(shù)法,可得CG、OD的解析式,根據(jù)解方程組,可得F點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得G點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)三角形的面積公式,可得答案;
(4)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,根據(jù)三角形的面積公式,可得F點(diǎn),根據(jù)函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可得P點(diǎn).

解答 (1)解:由已知,得四邊形ABCD是正方形,
∴D為AC的中點(diǎn),
∴點(diǎn)D(-2,4),
∴k=xy=-2×4=-8,當(dāng)x=-4時(shí),y=-$\frac{8}{x}$=2,點(diǎn)E(-4,2);
(2)證明:如圖,

∵四邊形ABCD是正方形,
∴OC=AC,∠A=∠DOC=90°,
∵A為(-4,4),E(-4,2),
∴E為AB的中點(diǎn).
∵D為AC的中點(diǎn),
∴CD=AE,
∴Rt△EAC≌R△DCO,
∴∠1=∠2,
∵∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴CG⊥OD;
(3)解:設(shè)直線OD為y=k1x,得-2k1=4,即k1=-2,y=-2x;
設(shè)直線CG的解析式為y=k2x+4,得-4k2+4=2,即k2=$\frac{1}{2}$,
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$,即F點(diǎn)坐標(biāo)為(-$\frac{8}{5}$,$\frac{16}{5}$),
當(dāng)y=0時(shí),$\frac{1}{2}$x+4=0,即x=-8,即G點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,0)
∴S△OFG=$\frac{1}{2}$OG•yF$\frac{1}{2}$×8×$\frac{16}{5}$=$\frac{64}{5}$;
(4)解:設(shè)過點(diǎn)G(-8,0)、B(-4,0)、F(-$\frac{8}{5}$,$\frac{16}{5}$)的拋物線為y=ax2+bx+c(a≠0),
得$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{\frac{64}{25}a-\frac{8}{5}b+c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{24}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$,
則y=$\frac{5}{24}$x2+$\frac{5}{2}$x+$\frac{20}{3}$
當(dāng)$\frac{2a}$=-6時(shí),y最小=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-$\frac{5}{6}$,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,-$\frac{5}{6}$).
∴S△BGP=$\frac{1}{2}$•BG•yF=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{16}{5}$=$\frac{32}{5}$.
∴點(diǎn)F是滿足條件的一點(diǎn),△BGP的高是$\frac{16}{5}$,
∴在x軸上方的拋物線上還存在一個(gè)點(diǎn)與F關(guān)于直線x=-6對(duì)稱的點(diǎn)P(-$\frac{52}{5}$,$\frac{16}{5}$).
∵$\frac{5}{6}$<$\frac{16}{5}$,
∴在x軸下方的拋物線上不存在滿足條件的點(diǎn).
故存在兩個(gè)點(diǎn):P1(-$\frac{8}{5}$,$\frac{16}{5}$),P(-$\frac{52}{5}$,$\frac{16}{5}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠1=∠2是解題關(guān)鍵;利用解方程組得出G點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵;利用函數(shù)的對(duì)稱性得出P與F點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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19.如圖,D,E,F(xiàn),G,H,I是三角形ABC三邊上的點(diǎn),連結(jié)EI,EF∥BC,GH∥AC,DI∥AB.
(1)寫出與∠IEC是同旁內(nèi)角的角.
(2)判斷∠GHC與∠FEC是否相等,并說明理由.
(3)若EI平分∠FEC,∠C=56°,∠B=50°,求∠EID的度數(shù).

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17.如圖1所示,已知正方形BCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),EF⊥EC,且EF=EC,連接AF.
(1)求∠EAF的度數(shù);
(2)如圖2所示,連接CF交BD于M,求證:M為CF的中點(diǎn);
(3)如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),式子AF+2DM的值是否會(huì)改變.若不變,請(qǐng)求出其值;若改變,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

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13.如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,若點(diǎn)A(1,2)在此圖象上,則不等式kx+b>2的解集為( 。
A.x>1B.x<1C.x>0D.x<0

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20.(-0.7)2的平方根是( 。
A.-0.7B.0.7C.±0.7D.0.49

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10.如果要使(x+1)(x2-2ax+a2)的乘積中不含x2項(xiàng),則a=$\frac{1}{2}$.

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17.在如圖所示的數(shù)軸上,點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是$\sqrt{2}$和-1,則點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是( 。
A.1+$\sqrt{2}$B.2+$\sqrt{2}$C.2$\sqrt{2}$-1D.2$\sqrt{2}$+1

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14.計(jì)算
(1)$\sqrt{{{({-5})}^2}}$-|${\root{3}{{{{(-3)}^3}}}$+2|+(${-\sqrt{0.64}}$)×$\sqrt{400}$
(2)$\root{3}{27}$-|$\sqrt{2}$-3|+(-1)2016

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15.n邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等,一個(gè)內(nèi)角比外角大120°,則n為12.

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