Question

3．如圖，?ABCD中，AD=3cm，AB=5cm，BD⊥AD．點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，它們運動的速度為1cm/s．設運動的時間為x（s），△CPQ的面積為y（cm²），當點Q運動到點A時，P，Q都停止運動．
（1）若∠PCD=∠QCB時，求x的值；
（2）求y與x的函數(shù)關系式；
（3）若4≤y≤5.5時，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意證明△CDP∽△CBQ，根據相似三角形的性質列出比例式，求出x的值；
（2）根據勾股定理求出AB，根據三角形的面積公式求出DE，根據平行線的性質求出PH，結合圖形用x表示出y；
（3）根據二次函數(shù)的性質求出函數(shù)y的最小值和當y=5.5時的自變量x，確定x的取值范圍．

解答 解：（1）∵AP=BQ=x，AB=5，AD=3，
∴PD=3-x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠CDP=∠CBQ，CD=AB=5，BC=AD=3，
∵∠PCD=∠QCB，
∴△CDP∽△CBQ，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{PD}{BQ}$，即$\frac{5}{3}=\frac{3-x}{x}$，
解得x=$\frac{9}{8}$；
（2）作DE⊥AB于E，PH⊥AB于H，
∵AD=3cm，AB=5cm，BD⊥AD，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=4，
∴DE=$\frac{AD×BD}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∵PH∥DE，
∴$\frac{PH}{DE}$=$\frac{AP}{AD}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{PH}{\frac{12}{5}}$，
解得，PH=$\frac{4}{5}$x，
∴△CPQ的面積為y=S_{平行四邊形ABCD}-S_△APQ-S_△CBQ-S_△PDC
=12$-\frac{1}{2}×$（5-x）×$\frac{4}{5}$x-$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$x-$\frac{1}{2}×$5×（$\frac{12}{5}$-$\frac{4}{5}$x）
=$\frac{2}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x+6；
（3）y=$\frac{2}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x+6=$\frac{2}{5}$（x-$\frac{3}{2}$）²+5.1，
則y的最小值為5.1，
當y=5.5時，$\frac{2}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x+6=5.5，
解得，x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{5}{2}$，
∴4≤y≤5.5時，x的取值范圍為$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查的是矩形的性質、相似三角形的判定和性質、二次函數(shù)的性質以及二次函數(shù)的最值的確定，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、利用配方法求出二次函數(shù)的最小值是解題的關鍵．