Question

如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于點O，F(xiàn)是線段AO上的點（與A、O不重合），∠EAF=90°，AE=AF，連接FE，F(xiàn)C，BF．
（1）求證：BE=BF；
（2）如圖2，若將△AEF繞點A旋轉，使邊AF在∠BAC的內部，延長CF交AB于點G，交BE于點K．
①判斷線段CF與BE的關系，并說明理由．
②當△BEF為等腰直角三角形時，請直接寫出AB：BF的值．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）通過證明△EAB≌△FAB，即可得到BE=BF；
（2）①首先證明△AEB≌△AFC，可得CF=BE．
②由全等三角形的性質可得：∠EBA=∠FCA，進而可證明△AGC∽△KGB，因為△AGC∽△KGB，所以∠GKB=∠GAC=90°，所以∠EBF＜90°，由此可分兩種情況討論求值即可．

解答：解；（1）證明：∵AB=AC，AO⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=45°，
∴∠EAB=∠EAF-∠BAF=45°，
∴∠EAB=∠BAF，
在△EAB和△FAB中，

AE=AF ∠EAB=∠BAF AB=AB

，
∴△EAB≌△FAB（SAS），
∴BE=BF；
（2）①CF=BE．
證明：∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，

AE=AF ∠EAB=∠FAC AB=AC

，
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴CF=BE；
②∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠EBA=∠FCA，
又∵∠KGB=∠AGC，
∴△AGC∽△KGB；
∴∠GKB=∠GAC=90°，
∴∠EBF＜90°，
當∠EFB=90°時，
設AE=x，
∵∠EAF=90°，AE=AF，
∴EF=

2

x，
∵△BEF為等腰直角三角形，
∴BF=EF=

2

x，∠FBE=45°．
∴BE=2x
又∵∠EAF=90°，AE=AF，
∴∠AEF=45°．
∴∠AEB=90°．
∴AB=

AE2+BE2

=

5

x，
AB：BF=

5

x：

2

x=

5

：

2

．
同理，當∠BEF=90°，此時AB：BF=

5

：2．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質，題目的綜合性很強，難度不小，對學生的解題能力要求很高．