Question

9．如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的一點(diǎn)，AE⊥EF，下列結(jié)論：①∠BAE=30°；②CE²=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出∠BAE＜30°，①不正確；由題中條件可得△CEF∽△BAE，進(jìn)而得出對應(yīng)線段成比例，得出②正確，CF=$\frac{1}{3}$FD，③不正確；進(jìn)而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正確，即可得出題中結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CAD，∠B=∠C=∠D=90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE＞AB，
∴sin∠BAE=$\frac{BE}{AE}$＜$\frac{1}{2}$，
∴∠BAE＜30°，①不正確；
∵AE⊥EF，∴∠BAE=∠CEF，
∴△CEF∽△BAE，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{BE}$=$\frac{CF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE•BE=AB•CF，CF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{4}$CD，
∵BE=CE，CF=$\frac{1}{3}$FD，
∴CE²=AB•CF，②正確，③不正確；
由△CEF∽△BAE可得$\frac{CE}{CF}=\frac{AB}{BE}$，
∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，
∴∠EAF=∠BAE，
又∠B=∠C=90°．
∴△ABE∽△AEF，
∴④正確；
正確的有2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．