Question

如圖，過點(diǎn)P（2，）作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)A，交雙曲線（x＞0）于點(diǎn)N，作PM⊥AN交雙曲線（x＞0）于點(diǎn)M，連接AM．已知PN=4．
（1）求k的值；
（2）設(shè)直線MN解析式為y=ax+b，求不等式≥ax+b的解集；
（3）試判斷△AMN的形狀？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，），
∴AP=2，OA=．
∵PN=4，∴AN=6，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，）．
把N（6，）代入y=中，得k=．

（2）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，），
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，
又∵點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，），
∴0＜x≤2或x≥6．

（3）∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，雙曲線為，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，），
∴PM=．
∵PM⊥AN，AP=2，PN=4，
∴AM²=12，MN²=24，AN²=36，
∴AM²+MN²=AN²，
∴∠AMN=90°，即△AMN是直角三角形．
分析：（1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）得AP=2，又PN=4可得AN=6，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，），把N（6，）代入y=中，得k=．
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，又點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，），再根據(jù)圖象可得0＜x≤2或x≥6．
（3）由點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，）和點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）得PM=．又PM⊥AN，AP=2，PN=4可得AM²+MN²=AN²，故△AMN是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、直角三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．此題難度較大．