Question

如圖（1），在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB=90°，OA=6，AB=5，cos∠OAB=．
（1）寫出頂點A、B、C的坐標；
（2）如圖（2），點P為AB邊上的動點（P與A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分別為M，N．設PM=x，四邊形OMPN的面積為y．
①求出y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②是否存在一點P，使得四邊形OMPN的面積恰好等于梯形OABC的面積的一半？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）點A的坐標，由圖可直接得出；求出BC、OC的長，即可得到點B、C的坐標；
（2）①PM=x，由圖得，0＜x＜4，由cos∠OAB=，得到MA=x，由矩形的面積，可求出y與x之間的函數(shù)關系式；
②根據(jù)S_矩形OMPN=S_梯形OABC可得到一點；
解答：解：（1）由圖得，A（6，0），B（3，4），C（0，4），
做BD⊥OA，所以，BD=OC，BC=OD；
由OA=6，AB=5，cos∠OAB=得，
AD=3，BD=4，
即，BC=3，OC=4；
故坐標為：A（6，0），B（3，4），C（0，4）；

（2）①∵設PM=x，由圖得，0＜x＜4，
則，AM=x，
所以，y=（6-x）x，
整理得，y=-+6x；
故y與x之間的函數(shù)關系式是：y=-+6x（0＜x＜4）；
②由-+6x=×[（3+6）×4÷2]整理得，
x²-8x+12=0，
解得，x₁=2，x₂=6（舍去），
OM=6-2×=，
故點P的坐標為（，2）．
點評：本題考查了直角三角形的性質、直角梯形和矩形的相關知識以及動點函數(shù)問題，根據(jù)題目中的等量關系列出二次函數(shù)，注意最后取值必須使題目有意義；此題是一個大綜合題，難度較大．