Question

銳角△ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心．設(shè)外心到三邊距離和為d_外，重心到三邊距離和為d_重，垂心到三邊距離和為d_垂．
求證：1•d_垂+2•d_外=3•d_重．

Answer 1

證明：設(shè)△ABC外接圓半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B，C．
易知d_外=OO₁+OO₂+OO₃=cosA+cosB+cosC，
∴2d_外=2（cosA+cosB+cosC）．①
∵AH₁=sinB•AB=sinB•（2sinC）=2sinB•sinC，
同樣可得BH₂=2sinC•sinA，CH₃=2sinA•sinB．
∴3d_重=△ABC三條高的和=2•（sinB•sinC+sinC•sinA+sinA•sinB） ②，
∴=2，
∴HH₁=cosC•BH=2•cosB•cosC．
同樣可得HH₂，HH₃．
∴d_垂=HH₁+HH₂+HH₃=2（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB） ③，
∴①+③，得1•d_垂+2•d_外=2（cosA+cosB+cosC）+2（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB），
=2（cosA+cosB+cosC+cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB），
觀察①、②、③，可得（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB）+（cosA+cosB+cosC）=sinB•sinC+sinC•sinA+sinA•sinB．
則1•d_垂+2•d_外=3•d_重．
分析：設(shè)△ABC外接圓半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B，C．如圖，OO₁、OO₂、OO₃分別是O到三邊的距離，利用圓心角和圓周角的關(guān)系可以得到d_外=OO₁+OO₂+OO₃=cosA+cosB+cosC；又AH₁=sinB•AB，而根據(jù)正弦定理知道，由此可以得到AH1=sinB•AB=sinB•（2sinC）=2sinB•sinC，接著可以得到3d重=△ABC三條高的和=2•（sinB•sinC+sinC•sinA+sinA•sinB），而，所以=2；由此可知HH₁=cosC•BH=2•cosB•cosC，d_垂=HH₁+HH₂+HH₃=2（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB），最后代入1•d_垂+2•d_外=3•d_重．即可證明結(jié)論．
點評：本題主要考查了正弦定理與余弦定理、三角形外接圓與外心，難度較大．