Question

如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另外兩條邊上，則這樣的正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．
（1）如圖①，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h_a，EFGH是△ABC的內(nèi)接正方形．設(shè)正方形EFGH的邊長是x，求證：x=

aha

a+ha

；
（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．請?jiān)趫D②，圖③中分別畫出可能的內(nèi)接正方形，并根據(jù)計(jì)算回答哪個(gè)內(nèi)接正方形的面積最大；
（3）在銳角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．請問這個(gè)三角形的內(nèi)接正方形中哪個(gè)面積最大？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由HG∥BC，可得△AHG∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，求出結(jié)果；
（2）問哪個(gè)內(nèi)接正方形的面積最大，即看哪個(gè)內(nèi)接正方形的邊最長，由（1）可知結(jié)果；
（3）正方形的一邊落在三角形的最短一邊BC上的內(nèi)接正方形的面積最大．

解答：解：（1）∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM：AD=HG：BC，
∴（h_a-x）：h_a=x：a，
a（h_a-x）=h_ax，
ah_a-ax=h_ax，
（a+h_a）x=ah_a，
∴x=

aha

a+ha

；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，當(dāng)圖②的情況，BC=

AB2+AC2

=5，則AD=

12

5

，
此時(shí)正方形的邊長是：

5× 12 5

5+ 12 5

=

60

37

；
當(dāng)圖③時(shí)，正方形的邊長是

3×4

3+4

=

12

7

，
故③的情況面積大．


（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，設(shè)三角形的面積是S，則S=

1

2

ah_a，則x=

S

2(a+ha)

，
則當(dāng)正方形的一邊落在三角形的最短一邊BC上時(shí)，a+h_a最小，則x最大，內(nèi)接正方形的面積最大．

點(diǎn)評：本題探討合理利用三角形的邊角余料，提高材料的利用率．