已知:如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,對角線AC、BD交于M,AB=2,CD=4,∠CMD=90°,求:BD的長.
分析:過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E,根據(jù)∠CMD=90°求出△BDE是直角三角形,結(jié)合AB∥CD可以證明四邊形ACEB是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形對邊相等可得AC=BE,CE=AB,從而求出DE的長度,然后根據(jù)等腰梯形的對角線相等推出BD=BE,利用勾股定理列式計算即可求出BD的長.
解答:解:如圖,過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E,
∴∠EBD=∠CMD=90°,
∵AB∥CD,
∴四邊形ACEB是平行四邊形,
∴AC=BE,CE=AB,
∵AB=2,CD=4,
∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6,
∵梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,
∴AC=BD,
∴BD=BE,
在Rt△BDE中,由勾股定理得,BD2+BE2=DE2,
即BD2+BD2=62,
解得BD=3
2

故答案為:3
2
點(diǎn)評:本題主要考查了等腰梯形的對角線相等的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,作出輔助線把對角線的垂直轉(zhuǎn)化為直角三角形是解題的關(guān)鍵,也是解決等腰梯形問題常作的輔助線之一.
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