Question

18．如圖，在△ABC中，以BC為直徑作半圓O，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作半圓O的切線，交AB于M，連接BE．
（1）求證：∠EBC=∠AEM；
（2）若AD=AE，求證：AB=AC；
（3）在（2）的條件下，若BD=4，BO=2$\sqrt{5}$，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）由直徑所對(duì)的圓周角是直角，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，然后利用互余得出結(jié)論；
（2）由切割線定理即可；
（3）利用勾股定理和等角的同名三角函數(shù)值相等，建立方程即可．

解答 解：（1）∵BC為直徑，
∴∠BEC=∠AEB=90°，
∴∠AEM+∠BEM=90°，
∵EM為⊙O的切線，
∴∠MEO=90°，
∴∠BEM+∠OEB=90°，
∴∠AEM=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠EBC=∠AEM；
（2）由割線定理得，AE×AC=AD×AB，
∵AE=AD，
∴AB=AC；
（3）∵AB=AC，AD=AE
∴AB-AD=AC-AE，
∴BD=CE=4，
在Rt△BEC中，BC=2BO=4$\sqrt{5}$，CE=4，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
設(shè)AE=x，則AB=AC=4+x，
在Rt△BEA中，AB²=AE²+BE²，
∴（4+x）²=x²+8²，
∴x=6，
∴AE=6，
∵EM為切線，
∴∠OEM=90°，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠CEB，
∵∠EBC=∠AEM
∴∠AEM=∠EBC，
∴sin∠AEM=sin∠EBC=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{AM}{AE}$，
∴AM=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$×AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×6=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，切割線定理，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是用勾股定理的結(jié)論表示相關(guān)相等（設(shè)AE=x，則AB=AC=4+x，），再另一個(gè)直角三角形中用勾股定理建立方程．