已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0處取得極值．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若關于x的方程f（x）=-數(shù)學公式x+b在區(qū)間（0，2）上有兩上不等的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

解：（1）∵f（x）=ln（x+a）-x2-x
∴f′（x）=-2x-1=
∵函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0處取得極值
∴f′（x）=0，∴∴a=1
即f′（x）== （x＞-1）
由f′（x）＞0得-1＜x＜0，由f′（x）＜0得 x＞0
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（2）令g（x）=f（x）-（-）=ln（x+1）-x2+，x∈（0，2）
則g′（x）=
令g′（x）=0得x=1或x=-（舍去）
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當1＜x＜2時g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減
方程f（x）=-在區(qū)間（0，2）上有兩個不等的實根等價于函數(shù)g（x）在（0，2）上有兩個不同的零點
∴
∴
即實數(shù)b的取值范圍是
分析：要求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，就需要求函數(shù)的導數(shù)，但在函數(shù)解析式中有參數(shù)a所以先跟據(jù)函數(shù)在x=0處取得極值求的a=1，然后根據(jù)利用單數(shù)判斷單調(diào)性的步驟來做即可．在第二問中，先把方程轉化為函數(shù)g（x），方程有兩個不等的實根也就相當于函數(shù)在（0，2）上有兩個不同的零點．根據(jù)函數(shù)零點的判斷，可得g（0）＜0，g（1）＞0，g（2）＜0．
點評：1、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的原理，掌握判斷方法和步驟；
2、如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有 f（a）f（b）＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上至少有一個零點，
即至少存在一個數(shù)c∈[a，b]使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的一個根．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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