Question

對于圓錐曲線，給出以下結論：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動點P的軌跡為圓；
③方程4x²-12x+5=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦點．
⑤橢圓C：

x2

2

+y²=1上滿足

MF1

•

MF2

=0的點M有4個（其中F₁，F(xiàn)₂為橢圓C的焦點）．
其中正確結論的序號為

 

（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

考點：圓錐曲線的共同特征

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離；②設出定圓的方程，利用代入法分析可知AB中點P的軌跡為圓（除去A點）；③求出方程的兩根即可得到答案；④雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦點（±5，0）；⑤橢圓C：

x2

2

+y²=1上滿足

MF1

•

MF2

=0的點M有2個（0，±1）．

解答： 解：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．當|k|大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線；
對于②，設定圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，點A（m，n），P（x，y），由

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），可知P為AB的中點，則B（2x-m，2y-n），因為AB為圓的動弦，所以B在已知圓上，把B的坐標代入圓x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，當B與A重合時AB不是弦，所以點A除外，所以②不正確；
因為4x²-12x+5=0的兩根是1.25，0.5，橢圓的離心率范圍是（0，1），雙曲線的離心率范圍是（1，+∞），所以③正確；
④雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+

y2

10

=1有相同的焦點（±5，0），正確；
⑤橢圓C：

x2

2

+y²=1上滿足

MF1

•

MF2

=0的點M有2個（0，±1）（其中F₁，F(xiàn)₂為橢圓C的焦點），不正確．
故答案為：③④．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，同時考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，考查的知識點較多，屬于中檔題．