Question

2．如圖，一次函數(shù)y=kx-3的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象交于點P，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C和點D，若點C是OA的中點，且△PBD的面積等于15．
（1）點D的坐標(biāo)是（0，-3）；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（3）根據(jù)圖象寫出當(dāng)x取何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出y值，即可得出結(jié)論；
（2）由PA⊥x軸，PB⊥y軸可得出四邊形OAPB是平行四邊形，從而得出AP=OB；根據(jù)相似三角形的判定定理可得出△ACP≌△OCD，從而得出AP=OD=3，即BD=6；根據(jù)△PBD的面積等于15結(jié)合三角形的面積公式可算出PB的長度，由此得出P點的坐標(biāo)，將P點的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)P點的坐標(biāo)，結(jié)合兩函數(shù)圖象即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）令x=0，則y=-3，
即點D的坐標(biāo)為（0，-3）．
故答案為：（0，-3）．
（2）∵PA⊥x軸，PB⊥y軸，
∴PA∥y軸，PB∥x軸，
∴四邊形OAPB是平行四邊形，
∴AP=OB．
∵點C是OA的中點，
∴AC=OC．
在△ACP和△OCD中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠ACP=∠OCD}\\{∠PAC=∠DOC=90°}\\{OC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△OCD（AAS）．
∴AP=OD=3，
∴BD=6．
∵△PBD的面積等于15，
∴PB=5，
∴點P坐標(biāo)為（5，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=5k-3}\\{3=\frac{m}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{6}{5}}\\{m=15}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{5}$x-3，反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{15}{x}$．
（3）∵點P坐標(biāo)為（5，3），
∴結(jié)合函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＞5時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的問題、三角形的面積公式、相似三角形的判定及性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）令x=0求y值；（2）求出點P的坐標(biāo)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象得出不等式的解集．本題屬于中檔題，（1）（3）難度不大；（2）通過相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式去求P點的坐標(biāo)，此處有點難度，在解決該問時，結(jié)合相等的量，去求P點坐標(biāo)．