Question

【題目】用1分、2分和5分的硬幣湊成1元．共有多少種不同的湊法?

Answer 1

【答案】541

【解析】

5分的硬幣最多可以有100÷5＝20枚；

當5分的硬幣有20枚，那么只有這1種湊法；

當5分的硬幣有19枚，則剩下的5分由1分和2分的硬幣湊成，有2+2+1＝2+1+1+1＝1+1+1+1+1＝5，所以共有3種湊法；

當5分的硬幣有18枚，則剩下的10分由1分和2分的硬幣湊成，有2+2+2+2+2，2分的可以替換為1分的，于是有5+1＝6種湊法；

當5分的硬幣有17枚時，則剩下的15分由1分和2分的硬幣湊成，有2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替換為1分的，于是有7+1＝8種湊法；

當5分的硬幣有16枚時，則剩下的20分由1分和2分的硬幣湊成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2，2分的可以替換為1分的，于是有10+1＝11種湊法；

當5分的硬幣有15枚時，則剩下的20分由1分和2分的硬幣湊成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替換為1分的，于是有12+1＝13種湊法；

于是，我們把兩種情況作為一組，有(1，3)，(6，8)，(11，13)，…，

即每組數(shù)內兩個數(shù)字相差2，從第2組開始，每組數(shù)的第一個數(shù)字比前一組的第一個數(shù)字大5，

5分的硬幣可以取20～0枚，即有21種情況，分成10組還剩下一種情況，

有(1，3)，(6，8)，(11，13)，(16，18)，(21，23)，(26，28)，(31，33)，(36，38)，(41，43)，(46，48)，51

所以共有(1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51)+(3+8+13+18+23+28+33+38+43+48)＝(1+51)×11÷2+(3+48)×10÷2＝286+255＝541種．

即用1分、2分和5分的硬幣湊成1元．共有541種不同的湊法．