Question

某次考試共有100道題，每題一分，做錯不扣分，甲、乙、丙三位同學(xué)分別得90分、70分、50分，其中3個人都做出來的題叫作“容易題”，只有1個人做出來的題目叫作“較難題”，沒人做出來的題目叫作“特難題”，且“較難題”是“特難題”的3倍，又已知丙同學(xué)做出的題中超過80%的是“容易題”，但又不全是“容易題”，請問：“特難題”共有多少道？

Answer 1

考點：容斥原理

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：通過分析，可設(shè)特難題a道，較難題有3a道，容易題有b道，則有2人做出的題有（100-4a-b）道，易知3a+2（100-4a-b）+3b=210，可知b=5a+10＞40，則有a≥7，又a＜100-90=10，則有a≤9，所以a=7，8，9，解得a=7，b=45；a=8，b=50；a=9，b=55，由于b＜50，所以只有a=7，b=45滿足條件，據(jù)此解答即可．

解答： 解：設(shè)特難題a道，較難題有3a道，容易題有b道，則有2人做出的題有（100-4a-b）道：
可得方程：3a+2（100-4a-b）+3b=210
b=5a+10＞40
a≥7
又a＜100-90=10，則有a≤9
所以a=7，8，9
解得a=7，b=45；
    a=8，b=50；
    a=9，b=55．
由于b＜50，所以只有a=7，b=45滿足條件．
答：特難題共有7道．

點評：本題主要考查了容斥原理，正確確定解題思路，轉(zhuǎn)化為求列出數(shù)量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．