Question

13．以正方形兩條對角線的交點(diǎn)為圓心，以對角線長度的一半為半徑可以畫出正方形的外接圓

正方形的對角線長	2	4	6	8
正方形的面積
外接圓的面積
外接圓的面積與正方形面積的比

（1）將表填寫完整．（數(shù)據(jù)可保留π）
（2）你發(fā)現(xiàn)了什么？任意選一個(gè)正方形，畫出它的外接圓，也能得出相同的結(jié)論嗎？

Answer 1

分析 （1）由題意，正方形面積是由4個(gè)同樣的等腰直角三角形面積組成，直角邊是正方形對角線長的一半，據(jù)此可求出正方形的面積；正方形外接圓的半徑是正方形對角線長的一半，據(jù)此可求出正方形外接圓的面積，再根據(jù)比的意義寫出它們的比，再化簡．
（2）可任選一正方形，如角線長為2a的正方形面積是：2a×2a÷2×4=8a²，外接圓面積是：π×（2a）²=4πa²，它們的面積之比是：（4πa²）：（8a²）=π：2，由此得出結(jié)論：正方形外接圓與正方形面積的比是π：2．

解答 解：（1）當(dāng)正方形對角線長為2是時(shí)，2÷2=1，正方形面積：1×1÷2×4=2，外接圓面積：π×1²=π，外接圓與正方形面積的比是π：2；
當(dāng)正方形對角線長為4時(shí)，4÷2=2，正方形面積：2×2÷2×4=8，外接圓面積：π×2²=4π，外接圓與正方形面積的比是4π：8=π：2；
當(dāng)正方形對角線長為6時(shí)，6÷2=3，正方形面積：3×3÷2×4=18，外接圓面積：π×3²=9π，外接圓與正方形面積的比是9π：18=π：2；
當(dāng)正方形對角線長為8時(shí)，8÷2=4，正方形面積：4×4÷2×4=32，外接圓面積：π×4²=16π，外接圓與正方形面積的比是16π：32=π：2．
根據(jù)以上數(shù)據(jù)填表如下：

正方形的對角線長	2	4	6	8
正方形的面積	2	8	18	32
外接圓的面積	π	4π	9π	16π
外接圓的面積與正方形面積的比	π：2	π：2	π：2	π：2

（2）答：我發(fā)現(xiàn)，任選一個(gè)正方形，畫出它的外接圓，外接圓面積與正方形面積的比都是π：2．

點(diǎn)評 此題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，有方形的特征及面積的計(jì)算、三角面積的計(jì)算、圓面積的計(jì)算、比的意義及化簡等．正方形面積根據(jù)傳統(tǒng)求法，邊長乘邊長不好求，因此把它看作是由4個(gè)同樣的等腰直角三角形面積組成的．