Question

將1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如圖的圓圈中，每個圓圈恰填一個數(shù)，滿足下列條件：
（1）正三角形各邊上的數(shù)之和相等；
（2）正三角形各邊上的數(shù)之平方和除以3的余數(shù)相等．
問：有多少種不同的填入方法？
（注意，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和軸對稱反射，排列一致的，視為同一種填法）

Answer 1

考點：湊數(shù)謎

專題：填運算符號、字母等的豎式與橫式問題

分析：根據(jù)（1）的要求，假設(shè)三角形三個頂點的數(shù)字為a、b、c，正三角形各邊上的數(shù)之和相等為m，根據(jù)題意3m=a+b+c+（1+2+3+…+9），得m=（a+b+c）÷3+15的值，給a、b、c一個值，對應(yīng)m有一個值，相應(yīng)找出其他圓圈內(nèi)的數(shù)值；驗證（2）是否成立，即正三角形各邊上的數(shù)之平方和除以3的余數(shù)相等吧，即可得解．

解答： 解：假設(shè)三角形三個頂點的數(shù)字為a、b、c，正三角形各邊上的數(shù)之和相等為m，根據(jù)題意得：
3m=a+b+c+（1+2+3+…+9），
得m=（a+b+c）÷3+15，
①a、b、c為1、4、7，m=19，1+6+8+4=4+3+5+7=7+9+2+1=19，（1²+6²+8²+4²）÷3=39，（4²+3²+5²+7²）÷3=33，（7²+9²+2²+1²）÷3=45，符合題意．或者1+5+9+4=4+2+6+7=7+8+3+1，（1²+5²+9²+4²）÷3=41，（4²+2²+6²+7²）÷3=35，（7²+8²+3²+1²）÷3=41，符合題意．
②a、b、c為2、5、8，m=20，2+9+1+8=8+3+4+5=5+6+7+2=20，（2²+9²+1²+8²）÷3=50，（8²+3²+4²+5²）÷3=38，（5²+6²+7²+2²）÷3=38，符合題意．或者2+7+3+8=5+1+6+8=5+9+4+2=20，（2²+7²+3²+8²）÷3=42，（8²+1²+6²+5²）÷3=42，（5²+9²+4²+2²）÷3=42，符合題意．
③a、b、c為3、6、9，m=21，3+5+7+6=6+2+4+9=9+8+1+3=21，（3²+5²+7²+6²）÷3=39…2，（6²+2²+4²+9²）÷3=45…2，（9²+8²+1²+3²）÷3=51…2，符合題意．或者3+4+8+6=6+1+5+9=9+7+2+3，
（3²+4²+8²+6²）÷3=41…2，（6²+1²+5²+9²）÷3=47…2，（9²+7²+2²+3²）÷3=47…2，符合題意．
如圖所示，


答：有6種不同的填入方法．

點評：認真分析題意，同時滿足兩個條件，首先滿足第一個條件，然后驗證第二個條件，計算量較大．